Question

在極坐標(biāo)系中，已知兩點(diǎn)O（0，0），B（2

2

，

π

4

）．
（1）求以O(shè)B為直徑的圓C的極坐標(biāo)方程，然后化成直角方程；
（2）以極點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，直線l的參數(shù)方程為

x=t y=1+2t

（t為參數(shù)）．若直線l與圓C相交于M，N兩點(diǎn)，圓C的圓心為C，求△MNC的面積．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，利用Rt△OPB中的邊角關(guān)系cos∠POB=

OP

OB

即可求出；
（2）求出圓心到直線的距離和弦長(zhǎng)即可得出面積．

解答：解：（1）設(shè)P（ρ，θ）為圓上任意一點(diǎn)，則|OP|=ρ，∠POB=θ-

π

4

，
在Rt△POB中，cos（θ-

π

4

）=

|OP|

|OB|

，即ρ=2

2

cos(θ-

π

4

)，
∴ρ²=2ρ cosθ+2ρ sinθ?，化為x²+y²=2x+2y，
∴圓C的直角坐標(biāo)方程為 （x-1）²+（y-1）²=2．
（2）由直線l的參數(shù)方程

x=t y=1+2t

消去參數(shù)t化為普通方程y=2x+1，
圓心C（1，1）到直線l的距離為d=

|2-1+1|

5

=

2

5

，
弦長(zhǎng)|MN|=2

2-( 2 5 )2

=

2 30

5

，
∴S=

1

2

×

2 30

5

×

2

5

=

2 6

5

．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握求圓的極坐標(biāo)方程及與直角坐標(biāo)方程的互化、直線與圓的相交弦長(zhǎng)問題及點(diǎn)到直線的距離是解題的關(guān)鍵．