Question

19、用0，1，2，3，4這五個數(shù)字，可以組成多少個滿足下列條件的沒有重復(fù)的五位數(shù)．
（1）被4整除；
（2）比21034大的偶數(shù)；
（3）左起第二、四位是奇數(shù)的偶數(shù)．

Answer 1

分析：（1）數(shù)字排列問題，0不能排首位，特殊元素（特殊位置）應(yīng)優(yōu)先考慮；
（2）合理分類或分步，做到不重不漏；
（3）正難則反，注意間接法的應(yīng)用．

解答：解：（1）被4整除的數(shù)，其特征應(yīng)是末兩位數(shù)是4的倍數(shù)，
可分兩類：當(dāng)末兩位數(shù)是20，40，04時，
其排列數(shù)為3A₃³=18個，當(dāng)末兩位數(shù)是12，24，32時，
其排列數(shù)為3•A₂¹A₂²=12個，故滿足條件的五位數(shù)共有3A₃³+3A₂¹A₂²=30個．
（2）法一：可分五類，當(dāng)末位數(shù)是0，而首位數(shù)是2時，有A₂¹A₂²+A₂²=6個；
當(dāng)末位數(shù)字是0，而首位數(shù)字是3或4時，有A₂¹A₃³=12個；
當(dāng)末位數(shù)字是2，而首位數(shù)字是3或4時，有A₂¹A₃³=12個；當(dāng)末位數(shù)字是4，
而首位數(shù)字是2時，有A₂²+A₁¹=3個；當(dāng)末位數(shù)字是4，而首位數(shù)字是3時，有A₃³=6個．
故有（A₂¹A₂²+A₂²）+A₂¹A₃³+A₂¹A₃³+A₂²+A₁¹+A₃³=39個．
法二：不大于21034的偶數(shù)可分為三類：萬位數(shù)字為1的偶數(shù)，有A₃¹A₃³=18個；
萬位數(shù)字為2，而千位數(shù)字是0的偶數(shù)，有A₂¹個；還有21034本身．
而由0，1，2，3，4組成的五位偶數(shù)有A₄⁴+A₂¹A₃³A₆³=60個．
故滿足條件的五位偶數(shù)共有60-A₃¹A₃³-A₂¹-1=39個．
（3）法一：可分兩類，0是末位數(shù)，有A₂²A₂²=4個，2或4是末位數(shù)，
有A₂²A₂¹4個．故共有A₂²A₂²+A₂²A₂¹=8個．
法二：第二、四位從奇數(shù)1，3中取，有A₂²；
首位從2，4中取，有A₂¹個；余下的排在剩下的兩位，有A₂²個，
故共有A₂²A₂¹A₂²=8個．

點評：本題考查有限制條件問題的計數(shù)問題，要注意對特殊元素或者特殊位置進行優(yōu)先考慮，注意分類加法原理和分步乘法原理的運用，考查學(xué)生的分類討論思想．