Question

19．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₁=-$\frac{2}{3}$，滿足S_n+$\frac{1}{S_n}$+2=a_n（n≥2），則S_n=（　�。�

• A． $-\frac{n+1}{2n+1}$
• B． $-\frac{n+1}{n+2}$
• C． $-\frac{{{2^n}-1}}{n+2}$
• D． $\frac{7-5n}{7n-10}$

Answer 1

分析 S_n+$\frac{1}{S_n}$+2=a_n（n≥2），+2=a_n（n≥2），S_n-a_n=S_n-1，可得S_n=-$\frac{1}{2+{S}_{n-1}}$，由a₁=-$\frac{2}{3}$，即S₁=-$\frac{2}{3}$，可得S₂=-$\frac{1}{2-\frac{2}{3}}$=-$\frac{3}{4}$，同理可得：S₃=-$\frac{4}{5}$，猜想：S_n=-$\frac{n+1}{n+2}$．利用數(shù)學(xué)歸納法來(lái)證明：即可得出．

解答 解：∵S_n+$\frac{1}{S_n}$+2=a_n（n≥2），S_n-a_n=S_n-1，
∴S_n=-$\frac{1}{2+{S}_{n-1}}$，
∵a₁=-$\frac{2}{3}$，即S₁=-$\frac{2}{3}$，
∴S₂=-$\frac{1}{2-\frac{2}{3}}$=-$\frac{3}{4}$，同理可得：S₃=-$\frac{4}{5}$，
猜想：S_n=-$\frac{n+1}{n+2}$．
下面用數(shù)學(xué)歸納法來(lái)證明：
①當(dāng)n=1時(shí)，顯然成立；
②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，有S_k=-$\frac{k+1}{k+2}$，
則S_k+1=-$\frac{1}{2+{S}_{k}}$=-$\frac{1}{2-\frac{k+1}{k+2}}$=-$\frac{k+2}{k+3}$．
因此n=k+1時(shí)，猜想成立．
綜上可得：?n∈N^*，S_n=-$\frac{n+1}{n+2}$成立．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、數(shù)學(xué)歸納法、方程的解法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．