Question

如圖，已知長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=1，BB₁=2，連結(jié)BC₁，過(guò)點(diǎn)B₁作BC₁的垂線交CC₁于E．
（1）求證：AC₁⊥平面EB₁D₁；
（2）二面角E-B₁D₁-C₁的正切值．

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）連接A₁C₁，證明AC₁⊥B₁D₁．AC₁⊥B₁E，利用直線與平面垂直的判定定理證明AC₁⊥平面EB₁D₁；
（2）取B₁D₁中點(diǎn)O，連C₁O，EO，說(shuō)明∠C₁OE為二面角E-B₁D₁-C₁的平面角，通過(guò)解三角形即可求解二面角E-B₁D₁-C₁的正切值．

解答： （本題滿分12分）第（1）小題（6分），第（2）小題（6分）．
解：（1）證明：連接A₁C₁，由條件得A₁B₁C₁D₁是正方形，因此B₁D₁⊥A₁C₁，
又AA₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，所以AA₁⊥B₁D₁，因此B₁D₁⊥平面AA₁C₁，
所以AC₁⊥B₁D₁．同理可證：AC₁⊥B₁E．B₁D₁∩B₁E=B₁，
所以AC₁⊥平面EB₁D₁．
（本題可直接用三垂線定理證明，也可以用建立空間直角坐標(biāo)系證明，請(qǐng)對(duì)照給分）
（2）取B₁D₁中點(diǎn)O，連C₁O，EO，顯然C₁O⊥B₁D₁，EO，⊥B₁D₁，∴∠C₁OE為二面角E-B₁D₁-C₁的平面角．
可求C1O=

2

2

，C1E=

1

2

，∵∠EC₁O=90°，∴tan∠C1OE=

C1E

C1O

=

1

2

=

2

2

．
（若用建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量計(jì)算二面角，請(qǐng)對(duì)照給分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面垂直的判定定理的應(yīng)用，二面角的平面角的求法，考查空間想象能力以及計(jì)算能力．