Question

設(shè)x，y是正實(shí)數(shù)，且x+y=1，則

x2

x+2

+

y2

y+1

的最小值是

1

4

．

Answer 1

分析：該題是考查利用基本不等式求最值問題，但直接運(yùn)用基本不等式無從下手，可考慮運(yùn)用換元思想，把要求最值的分母變?yōu)閱雾?xiàng)式，然后利用“1”的代換技巧轉(zhuǎn)化為能利用基本不等式求最值得問題．

解答：解：設(shè)x+2=s，y+1=t，則s+t=x+y+3=4，
所以

x2

x+2

+

y2

y+1

=

(s-2)2

s

+

(t-1)2

t

=(s-4+

4

s

)+(t-2+

1

t

)=(s+t)+(

4

s

+

1

t

)-6=(

4

s

+

1

t

)-2．
因?yàn)?span id="rnvdttz" class="MathJye">

4

s

+

1

t

=

1

4

(

4

s

+

1

t

)(s+t)=

1

4

(

4t

s

+

s

t

+5)≥

9

4

所以

x2

x+2

+

y2

y+1

≥

1

4

．
故答案為

1

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了基本不等式，考查了換元法和數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想，訓(xùn)練了整體代換技巧，解答此題的關(guān)鍵是運(yùn)用換元后使分式的分母由多項(xiàng)式變?yōu)榱藛雾?xiàng)式，展開后使問題變得明朗化．