Question

17．已知三點P（5，2），F(xiàn)₁（-6，0），F(xiàn)₂（4，0），以F₁，F(xiàn)₂為焦點且過點P的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是$\frac{（x+1）^{2}}{45}$+$\frac{{y}^{2}}{20}$=1．

Answer 1

分析 設(shè)所求橢圓方程為$\frac{（x+1）^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），其半焦距c=5．由于點P（5，2）在橢圓上，利用橢圓的定義可得2a=|PF₁|+|PF₂|，再利用b²=a²-c²即可得出橢圓方程．

解答 解：依題意，橢圓的中心為F₁F₂的中點（-1，0），
設(shè)所求橢圓方程為$\frac{（x+1）^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），
其半焦距c=5．
∵點P（5，2）在橢圓上，
∴2a=|PF₁|+|PF₂|=$\sqrt{（5+6）^{2}+{2}^{2}}$+$\sqrt{（5-4）^{2}+{2}^{2}}$=6$\sqrt{5}$．
∴a=3$\sqrt{5}$，從而b²=a²-c²=20．
故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是 $\frac{（x+1）^{2}}{45}$+$\frac{{y}^{2}}{20}$=1．
故答案為：$\frac{（x+1）^{2}}{45}$+$\frac{{y}^{2}}{20}$=1．

點評 本題考查橢圓方程的求法，注意運用待定系數(shù)法和橢圓的定義，考查運算能力，屬于中檔題．