Question

已知平面上的動點(diǎn)R（x，y）及兩定點(diǎn)A（-2，0），B（2，0），直線RA、RB斜率分別為k₁、k₂，且k₁•k₂=-

3

4

，設(shè)動點(diǎn)R的軌跡為曲線C．
（Ⅰ）求曲線C的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)S（4，0）的直線與曲線C交于M，N兩點(diǎn)，過點(diǎn)M作MQ⊥x軸，交曲線C于點(diǎn)Q．求證：直線NQ過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由題知x≠±2，且k1=

y

x+2

，k2=

y

x-2

，由此能求出曲線C的方程．
（Ⅱ）設(shè)NQ與x軸交于D（t，0），則直線NQ的方程為x=my+t（m≠0），記N（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由對稱性知M（x₂，-y₂），由

3x2+4y2=12 x=my+t

，得（3m²+4）y²+6mty+3t²-12=0，由此利用根的判別式，韋達(dá)定理、三點(diǎn)共線，結(jié)合已知條件能證明直線NQ過定點(diǎn)D（1，0）．

解答： （Ⅰ）解：由題知x≠±2，且k1=

y

x+2

，k2=

y

x-2

，
則

y

x+2

•

y

x-2

=-

3

4

，---（2分）
整理得，曲線C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1(y≠0)．（5分）
（Ⅱ）證明：設(shè)NQ與x軸交于D（t，0），則直線NQ的方程為x=my+t（m≠0），
記N（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由對稱性知M（x₂，-y₂），
由

3x2+4y2=12 x=my+t

消x得：（3m²+4）y²+6mty+3t²-12=0，（7分）
所以△=48（3m²+4-t²）＞0，
故

y1+y2=- 6mt 3m2+4 y1•y2= 3t2-12 3m2+4

，（9分）
由M、N、S三點(diǎn)共線知k_NS=k_MS，即

y1

x1-4

=

-y2

x2-4

，
所以y₁（my₂+t-4）+y₂（my₁+t-4）=0，
整理得2my₁y₂+（t-4）（y₁+y₂）=0，（10分）
所以

2m(3t2-12)-6mt(t-4)

3m2+4

=0，
即24m（t-1）=0，t=1，
所以直線NQ過定點(diǎn)D（1，0）．（12分）

點(diǎn)評：本題考查曲線方程的求法，考查直線過定點(diǎn)的證明，解題時要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．