Question

定義：若曲線y=f（x）與y=g（x）都和直線y=kx+b相切，且滿足：f（x）≤kx+b≤g（x）或g（x）≤kx+b≤f（x）恒成立，則稱直線y=kx+b為曲線y=f（x）與y=g（x）的“內(nèi)公切線”．已知f（x）=-

1

4

x²，g（x）=e^x．
（1）試探究曲線y=f（x）與y=g（x）是否存在“內(nèi)公切線”？若存在，請(qǐng)求出內(nèi)公切線的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由；
（2）g′（x）是函數(shù)g（x）的導(dǎo)設(shè)函數(shù)，P（x₁，g（x₁）），Q（x₂，g（x²））是函數(shù)y=g（x）圖象上任意兩點(diǎn)，x₁＜x₂，且存在實(shí)數(shù)x₃，使得g′（x₃）=

g(x2)-g(x1)

x2-x1

，證明：x₁＜x₃＜x₂．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：新定義

分析：（1）結(jié)合“內(nèi)公切線”的定義先求出內(nèi)公切線的方程，再證明；（2）利用分析法證明．

解答： （本小題滿分14分）可
解：（1）假設(shè)曲線y=f（x）與y=g（x）存在“內(nèi)公切線”，記內(nèi)公切線與曲線g（x）=e^x的切點(diǎn)為（x₀，y₀），
則切線l方程為y-ex0=ex0(x-x0)                     …（2分）
又由

y-ex0=ex0(x-x0) y=- 1 4 x2

可得：

1

4

x2+ex0x+(1-x0)ex0=0．                …（3分）
由于切線l也和曲線f(x)=-

1

4

x2相切，
所以△=e2x0-(1-x0)ex0=ex0(ex0-1+x0)．
又ex0＞0，∴ex0-1+x0=0．．                                             …（4分）
當(dāng)x₀＞0時(shí)，ex0＞1，∴ex0-1+x0＞0；
當(dāng)x0=0時(shí)，ex0=1，∴ex0-1+x0=0；；

當(dāng)x0＜0時(shí)，ex0＜1，∴ex0-1+x0＜0；
所以x₀=0，y₀=1，故公切線l的方程為：y=x+1．                       …（5分）
下面證明y=x+1就是f（x）與g（x）內(nèi)公切線，即證-

1

4

x2≤x+1≤ex．
∵x+1-（-

1

4

x2）=

1

4

x2+x+1=(

1

2

x2+1)2≥0，
∴-

1

4

x2≤x+1成立．                                                    …（7分）
設(shè)h（x）=e^x-x-1，則h′（x）=e^x-1．
令h′（x）=0，得x=0．
當(dāng)x＜0時(shí)，h′（x）＜0，當(dāng)x＞0時(shí)，h′（x）＞0，
∴h（x）在（-∞，0）上為減函數(shù)，在（0，+∞）上為增函數(shù)，
所以h（x）≥h（0）=0，即x+1≤e^x．                                       …（9分）
∴-

1

4

x2≤x+1≤ex，即y=x+1就是曲線y=f（x）與y=g（x）的內(nèi)公切線． …（10分）
（2）∵g′（x）=e^x，∴ex3=

ex2-ex1

x2-x1

．
要證明：x₁＜x₃＜x₂，
只需證明：ex1＜ex3=

ex2-ex1

x2-x1

＜ex2，
只需證明：(x2-x1)ex1＜ex2-ex1＜(x2-x1)ex2，
只需證明：(x2-x1)ex1＜ex2-ex1，及ex2-ex1＜(x2-x1)ex2，
只需證明：(x2-x1)+1＜ex2-x1，及(x1-x2)+1＜ex1-x2．                    …（13分）
由（1）知：x+1≤e^x（x∈R），所以(x2-x1)+1＜ex2-x1及(x1-x2)+1＜ex1-x2成立，
∴x₁＜x₃＜x₂．                                                        …（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查新定義，正確理解新定義是關(guān)鍵．