Question

5．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=2n²+n，n∈N^*．
（1）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列{b_n}滿足a_n=4log₂b_n+3，n∈N^*，求數(shù)列{a_n•b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)a_n=$\left\{\begin{array}{l}{{S}_{1}，n=1}\\{{S}_{n}-{S}_{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$解出；
（2）求出b_n，使用錯(cuò)位相減法求和．

解答 解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=3；
當(dāng)n≥2時(shí)，${a_n}={S_n}-{S_{n-1}}=2{n^2}+n-[{2{{（{n-1}）}^2}+（{n-1}）}]=4n-1$．
經(jīng)檢驗(yàn)，n=1時(shí)，上式成立．
∴a_n=4n-1，n∈N^*．
（2）∵a_n=4log₂b_n+3=4n-1，∴b_n=2^n-1．
∴${a_n}•{b_n}=（{4n-1}）•{2^{n-1}}$，n∈N^*．
∴${{T}_n}=3+7×2+11×{2^2}+…+（{4n-1}）•{2^{n-1}}$，①
①×2得：$2{{T}_n}=3×2+7×{2^2}+11×{2^3}+…+（{4n-1}）•{2^n}$，②
∴$2{{T}_n}-{{T}_n}=（{4n-1}）•{2^n}-[{3+4（{2+{2^2}+…+{2^{n-1}}}）}]=（{4n-5}）{2^n}+5$．
故${{T}_n}=（{4n-5}）{2^n}+5$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式的解法，數(shù)列求和，屬于中檔題．