Question

已知f(x)=

2

3

x3-2ax2+3x（a∈R）．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若y=f（x）在（-1，1）內(nèi)有且只有一個極值點，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）已知f(x)=

2

3

x3-2ax2+3x對其進行求導(dǎo)，然后求極值，但是否有極值還得討論，然后利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)區(qū)間；
（2）根據(jù)y=f（x）在（-1，1）內(nèi)有且只有一個極值點，可以或得信息△＞0，轉(zhuǎn)化為f′（x）在（-1，1）內(nèi)有且只有一個零點，從而求解；

解答：解：（1）∵f(x)=

2

3

x3-2ax2+3x（a∈R）．
∴f′（x）=2x²-4ax+3，△=（-4a）²-4×2×3；
①當(dāng)△＞0時，即|a|＞

6

2

時，方程2x²-4ax+3=0有兩個根，
分別為x₁=a-

4a2-6

2

，x₂=a+

4a2-6

2

，
故f（x）在（-∞，x₁）和（x₂，+∞）單調(diào)遞增，
在（x₁，x₂）上單調(diào)遞減；
②當(dāng)△≤0時，f（x）單調(diào)遞增；
（2）由y=f（x）在（-1，1）上只有一個極值點，知△＞0，即|a|＞

6

2

；
且要滿足f′（1）•f′（-1）＜0，解得|a|＞

5

4

，
綜合得|a|＞

5

4

也即a＞

5

4

或者a＜-

5

4

．

點評：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，是我們常用的方法，此題解題過程中用到了分類討論的思想，是一道中檔題；