g(x)=ax-
b
x
-2f(x),其中f(x)=lnx,且g(e)=be-
a
e
-2(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).
(1)求a與b的關(guān)系;
(2)若g(x)在其定義域內(nèi)為增函數(shù),求a的取值范圍;
(3)證明:①f(x)≤x-1;②
ln2
22
+
ln3
32
+…
lnn
n2
2n2-n-1
4(n+1)
(n∈N,n≥2).
分析:(1)由題意g(x)=ax-
b
x
-2lnx
g(e)=be-
a
e
-2
 可得ae-
b
e
-2=be-
a
e
-2
結(jié)合e+
1
e
≠0
可求a,b的關(guān)系
(2)由(1)知g(x)=a+
a
x2
-
2
x
=
ax2-2x+a
x2
,構(gòu)造函數(shù)h(x)=ax2-2x+a.要使g(x)在(0,+∞)為增函數(shù),只需h(x)在(0,+∞)滿足:h(x)≥0恒成立即a≥
2x
1+x2
在(0,+∞)
上恒成立,利用基本不等式可求
2x
1+x2
得最大值,而a≥
2x
1+x2
得最大值
(3)證明:①即證:lnx-x+1≤0  (x>0),設(shè)k(x)=lnx-x-1,由導(dǎo)數(shù)可判斷x=1為k(x)的極大值點(diǎn),而k(x)≤k(1)可證,
②由①知lnx≤x-1,又x>0,可得
lnx
x
x-1
x
=1-
1
x
令x=n2,得
lnn2
n2
≤1-
1
n2
,從而可得
lnn
n2
1
2
(1-
1
n2
)
,利用該不等式放縮可證
解答:解:(1)由題意g(x)=ax-
b
x
-2lnx

g(e)=be-
a
e
-2
   
ae-
b
e
-2=be-
a
e
-2

(a-b)e+(a-b)
1
e
=0

(a-b)(e+
1
e
)=0

e+
1
e
≠0
∴a=b
(2)由(1)知:由題意g(x)=ax-
b
x
-2lnx
(x>0)
g(x)=a+
a
x2
-
2
x
=
ax2-2x+a
x2

令h(x)=ax2-2x+a.要使g(x)在(0,+∞)為增函數(shù),只需h(x)在(0,+∞)滿足:
h(x)≥0恒成立.
即ax2-2x+a≥0
a≥
2x
1+x2
在(0,+∞)
上恒成立
又00<
2x
x2+1
=
2
x+
1
x
≤ 
2
2
x•
1
x
=1(x>0)

所以a≥1
(3)證明:①即證:lnx-x+1≤0  (x>0),
設(shè)k(x)=lnx-x-1,則k(x)=
1
x
-1=
1-x
x

當(dāng)x∈(0,1)時(shí),k′(x)>0,∴k(x)為單調(diào)遞增函數(shù);
當(dāng)x∈(1,∞)時(shí),k′(x)<0,∴k(x)為單調(diào)遞減函數(shù);
∴x=1為k(x)的極大值點(diǎn),
∴k(x)≤k(1)=0.
即lnx-x+1≤0,∴l(xiāng)nx≤x-1.
②由①知lnx≤x-1,又x>0,
lnx
x
x-1
x
=1-
1
x

∵nn∈N*,n≥2,令x=n2,得
lnn2
n2
≤1-
1
n2

lnn
n2
1
2
(1-
1
n2
)

ln2
22
+
ln3
32
+…+
lnn
n2
1
2
(1-
1
22
+1-
1
32
+…+1-
1
n2
)

=
1
2
[(n-1)]-(
1
22
+
1
32
+…+
1
n2
)]
1
2
[(n-1)-(
1
2×3
+
1
3×4
+…+
1
n(n+1)
]

=
1
2
[n-1-(
1
2
 -
1
3
+
1
3
-
1
4
+…+
1
n
-
1
n+1
)]

=
1
2
[n-1-(
1
2
-
1
n+1
)]
=
2n2-n-1
4(n+1)
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的極值的求解及利用放縮法證明不等式,還要注意裂項(xiàng)求和在解題中的應(yīng)用,屬于綜合性試題
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=log2(ax-bx),且f(1)=1,f(2)=log212.
(1)求a,b的值;
(2)求函數(shù)f(x)的零點(diǎn);
(3)令g(x)=ax-bx,求g(x)在[1,3]上的最小值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=lnx,g(x)=ax+
bx
,函數(shù)f(x)的圖象與x軸的交點(diǎn)也在函數(shù)g(x)的圖象上,且在此點(diǎn)處f(x)與g(x)有公切線.
(Ⅰ)求a、b的值;
(Ⅱ)設(shè)x>0,試比較f(x)與g(x)的大。

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)函數(shù)f (x)=log2( ax-bx),且f(1)=1,f(2)=log212
(1)求a,b的值.
(2)當(dāng)x∈[1,2]時(shí),求f(x)的最大值.
(3)p為何值時(shí),函數(shù)g(x)=ax-bx+p與x軸有兩個(gè)交點(diǎn).

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•青島一模)設(shè)函數(shù)f(x)=lnx,g(x)=ax+
bx
,函數(shù)f(x)的圖象與x軸的交點(diǎn)也在函數(shù)g(x)的圖象上,且在此點(diǎn)有公切線.
(Ⅰ)求a、b的值;
(Ⅱ)試比較f(x)與g(x)的大。

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案