Question

設函數f （x）=log₂（ a^x-b^x），且f（1）=1，f（2）=log₂12
（1）求a，b的值．
（2）當x∈[1，2]時，求f（x）的最大值．
（3）p為何值時，函數g（x）=a^x-b^x+p與x軸有兩個交點．

Answer 1

分析：（1）由已知f（1）=1，f（2）=log₂12代入到f（x）中求得a、b的值即可；
（2）利用（1）求出f（x），利用換元法求得最小值即可；
（3）令g（x）=4^x-2^x+p=0，則4^x-2^x+p=0有兩個不同解．利用換元法：令t=2^x則t＞0故t²-t+p=0有兩個不同正根轉化為二次方程的問題解決即可．

解答：解：（1）由題意，列方程組

log 2(a -b)=1 log 2(a2-b2)=log 212

求得a=4，b=2..（4分）
（2）由（1）知f（x）=log₂（4^x-2^x）=log 2[ (2x-

1

2

)  2-

1

4

]
∵1≤x≤2∴2≤2^x≤4（2分）
故t=(2x-

1

2

) 2-

1

4

在[1，2]上單調遞減
∴f（x）的最大值=f（2）=log₂12（2分）
（3）令g（x）=4^x-2^x+p=0，則4^x-2^x+p=0有兩個不同解．
令t=2^x則t＞0故t²-t+p=0有兩個不同正根（2分）
即△=1-4p＞0且p＞0，（2分）
解得0＜p＜1/4．（2分）

點評：考查學生利用待定系數法求函數解析式的能力，理解函數極值及其幾何意義的能力，解答關鍵是利用換元法進行轉化的能力．