Question

數(shù)列{a_n}滿足a₁=1且a_n+1=（1+）a_n+（n≥1）．
（Ⅰ）用數(shù)學(xué)歸納法證明：a_n≥2（n≥2）；
（Ⅱ）已知不等式ln（1+x）＜x對x＞0成立，證明：a_n＜e²（n≥1），其中無理數(shù)e=2.71828…．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）欲用數(shù)學(xué)歸納法證明，分兩個步驟：當(dāng)n=2時和假設(shè)當(dāng)n=k（k≥2）時不等式成立，接下來證明當(dāng)n=k+1時不等式成立即可；
（Ⅱ）由遞推公式及（Ⅰ）的結(jié)論有a_n+1=（1+）a_n+≤（1++）a_n（n≥1），再結(jié)合對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，得到lna_n+1-lna_n≤+（n≥1）．最后對此式從1到n-1求和后放縮可得結(jié)論．
解答：（Ⅰ）證明：
①當(dāng)n=2時，a₂=2≥2，不等式成立．
②假設(shè)當(dāng)n=k（k≥2）時不等式成立，即a_k≥2（k≥2），
那么a_k+1=（1+）a_k+≥2．這就是說，當(dāng)n=k+1時不等式成立．
根據(jù)（1）、（2）可知：a_k≥2對所有n≥2成立．
（Ⅱ）由遞推公式及（Ⅰ）的結(jié)論有a_n+1=（1+）a_n+≤（1++）a_n（n≥1）
兩邊取對數(shù)并利用已知不等式得lna_n+1≤ln（1++）+lna_n≤lna_n++
故lna_n+1-lna_n≤+（n≥1）．
上式從1到n-1求和可得lna_n-lna₁≤++…++++…+
=1-+（-）+…+-+•=1-+1-＜2
即lna_n＜2，故a_n＜e²（n≥1）．
點評：本題主要考查了用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，以及用放縮法法證明不等式，屬于基礎(chǔ)題．?dāng)?shù)學(xué)歸納法是重要的數(shù)學(xué)思想方法，是證明與正整數(shù)有關(guān)的命題的一種有效方法．特別是“試驗-猜想-證明”的解題途徑又是進行研究性學(xué)習(xí)的最好方法之一．