Question

已知函數(shù)f（x）=sinx（cosx-

3

sinx）．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）將函數(shù)y=sin2x的圖象向左平移a（0＜a＜

π

2

）個(gè)單位，向下平移b個(gè)單位，得到函數(shù)y=f（x）的圖象，求a，b的值；
（3）求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,正弦函數(shù)的圖象,函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）化簡(jiǎn)可得f（x）=sin（2x+

π

3

）-

3

2

，易得函數(shù)f（x）的最小正周期；（2）由函數(shù)圖象平移的規(guī)律比較系數(shù)可得；（3）由2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

解不等式可得．

解答： 解：（1）化簡(jiǎn)可得f（x）=sinx（cosx-

3

sinx）
=sixcosx-

3

sin²x=

1

2

sin2x-

3

2

（1-cos2x）
=

1

2

sin2x+

3

2

cos2x-

3

2

=sin（2x+

π

3

）-

3

2

∴函數(shù)f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π；
（2）將函數(shù)y=sin2x的圖象向左平移a（0＜a＜

π

2

）個(gè)單位，向下平移b個(gè)單位，得到函數(shù)y=f（x）的圖象
∴f（x）=sin（2x+2a）-b，比較f（x）=sin（2x+

π

3

）-

3

2

可得a=

π

6

，b=

3

2

；
（3）由2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

可得kπ-

5π

12

≤x≤kπ+

π

12

，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為：[kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

]．（k∈Z）

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)恒等變換，涉及三角函數(shù)的周期性和單調(diào)性以及圖象變換，屬基礎(chǔ)題．