設雙曲線的中心在原點,準線平行于x軸,離心率為
5
2
,且點P(0,5)到此雙曲線上的點的最近距離為2,求雙曲線的方程.
依題意,設雙曲線的方程為
y2
a2
-
x2
b2
=1(a>0,b>0).
∵e=
c
a
=
5
2
,c2=a2+b2,∴a2=4b2
設M(x,y)為雙曲線上任一點,則
|PM|2=x2+(y-5)2
=b2
y2
a2
-1)+(y-5)2
=
5
4
(y-4)2+5-b2(|y|≥2b).
①若4≥2b,則當y=4時,
|PM|min2=5-b2=4,得b2=1,a2=4.
從而所求雙曲線方程為
y2
4
-x2=1.
②若4<2b,則當y=2b時,
|PM|min2=4b2-20b+25=4,
得b=
7
2
(舍去b=
3
2
),b2=
49
4
,a2=49.
從而所求雙曲線方程為
y2
49
-
4x2
49
=1.
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