設(shè)雙曲線的中心在原點(diǎn),準(zhǔn)線平行于x軸,離心率為,且點(diǎn)P(0,5)到此雙曲線上的點(diǎn)的最近距離為2,求雙曲線的方程.
【答案】分析:由雙曲線中心在原點(diǎn),準(zhǔn)線平行于x軸,可設(shè)雙曲線的方程為-=1.由離心率為,可得a2+b2=(a)2=c2.由點(diǎn)P(0,5)到此雙曲線上的點(diǎn)的最近距離為2,可轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最大(小)值問題來討論,得到a、b應(yīng)滿足的另一關(guān)系式.從而求出a2、b2,本題得解.
解答:解:依題意,設(shè)雙曲線的方程為-=1(a>0,b>0).
∵e==,c2=a2+b2,∴a2=4b2
設(shè)M(x,y)為雙曲線上任一點(diǎn),則
|PM|2=x2+(y-5)2
=b2-1)+(y-5)2
=(y-4)2+5-b2(|y|≥2b).
①若4≥2b,則當(dāng)y=4時(shí),
|PM|min2=5-b2=4,得b2=1,a2=4.
從而所求雙曲線方程為-x2=1.
②若4<2b,則當(dāng)y=2b時(shí),
|PM|min2=4b2-20b+25=4,
得b=(舍去b=),b2=,a2=49.
從而所求雙曲線方程為-=1.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查雙曲線的基本性質(zhì)--離心率、基本關(guān)系,考查兩點(diǎn)間的距離公式.對(duì)于學(xué)生的運(yùn)算能力也有一定的考查.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)雙曲線的中心在原點(diǎn),準(zhǔn)線平行于x軸,離心率為
5
2
,且點(diǎn)P(0,5)到此雙曲線上的點(diǎn)的最近距離為2,求雙曲線的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)雙曲線的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,它的兩條準(zhǔn)線把焦點(diǎn)間的線段三等分,則它的漸近線方程為___________________.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

設(shè)雙曲線的中心在原點(diǎn),準(zhǔn)線平行于x軸,離心率為
5
2
,且點(diǎn)P(0,5)到此雙曲線上的點(diǎn)的最近距離為2,求雙曲線的方程.

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