探究函數(shù)f（x）=x2+
3
x
的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論．
考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明
專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用
分析：利用函數(shù)的單調(diào)性的定義證明，本題的關(guān)鍵是分解因式，判斷因式的符號
解答： 解：f（x1）-f（x2）=（x1-x2）（x1+x2-
3
x1x2
）=（x1-x2）
(x1)2x2+x1(x2)2-3
x1x2
，設(shè)x1=x2時(shí)
(x1)2x2+x1(x2)2-3
x1x2
=0即2（x1）3-3=0解得x1=
312
2

因?yàn)楹瘮?shù)定義域（-∞，0）∪（0，+∞），
 自變量x1，x2在區(qū)間（-∞，0），（0，
312
2
），（
312
2
，+∞） 內(nèi)取值時(shí)因式
(x1)2x2+x1(x2)2-3
x1x2
符號是確定的，
而因式（x1-x2）的符號與x1，x2的大小有關(guān)系∴可以確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間為（-∞，0），（0，
312
2
），（
312
2
，+∞）

．證明：設(shè)x1＞x2＞
312
2
，f（x1）-f（x2）=（x1）2+
3
x1
-（x2）2-
3
x2
=（x1-x2）（
(x1)2x2+x1(x2)2-3
x1x2
）
∵x1＞x2＞
312
2
∴x1-x2＞0，
(x1)2x2+x1(x2)2-3
x1x2
＞0∴f（x1）-f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）
∴函數(shù)f（x）=x2+
3
x
區(qū)間（
312
2
，+∞）上為遞增函數(shù)
（2）設(shè)x1＜x2＜
312
2
，且x1≠0，x2≠0，f（x1）-f（x2）=（x1）2+
3
x1
-（x2）2-
3
x2
=（x1-x2）
(x1)2x2-x1(x2)2-3
x1x2

∵x1＜x2＜∴x1-x2＜0，
(x1)2x2+x1(x2)2-3
x1x2
＜0∴f（x1）-f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）
函數(shù)f（x）=x2+
3
x
∴在區(qū)間（-∞，0），（0，
312
2
）上為減函數(shù)
點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性的定義，
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，PA⊥平面ABCD，點(diǎn)N是PA的中點(diǎn)，且PA=AB=2，點(diǎn)O是△PCD內(nèi)（含邊界）一動(dòng)點(diǎn)，則三棱錐O-ADN的體積不小于
3
6
的概率為（　　）
A、
2
3
B、
1
2
C、
1
3
D、
1
4

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

平面直角坐標(biāo)系中，已知定點(diǎn)A1（-
7
，0），A2（
7
，0），動(dòng)點(diǎn)B1（0，m），B2（0，
1
m
），（m∈R且m≠0），直線A1B1與直線A2B2的交點(diǎn)N的軌跡為C．
（1）求軌跡C的方程；
（2）斜率為1的直線l交軌跡C于P、Q兩點(diǎn)，以PQ為直徑的圓與y軸相切，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

袋中有1個(gè)白球和4個(gè)黑球，且球的大小、形狀都相同．每次從其中任取一個(gè)球，若取到白球則結(jié)束，否則，繼續(xù)取球，但取球總次數(shù)不超過k次（k≥5）．
（Ⅰ）當(dāng)每次取出的黑球不再放回時(shí)，求取球次數(shù)ξ的數(shù)學(xué)期望與方差；
（Ⅱ）當(dāng)每次取出的黑球仍放回去時(shí)，求取球次數(shù)η的分布列與數(shù)學(xué)期望．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)O（0，0）．A（3，0）、B（0，3）、C（cosα，sinα），D（-2cosα，-t），其中α∈（
π
2
，
3π
2
）．
（1）若
AC
•
BC
=-1，求
2sin2α+2sinαcosα
1+tanα
的值．
（2）若f（α）=
OC
•
OD
-t2+2在定義域α∈（
π
2
，
3π
2
）有最小值-1，求t的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

過點(diǎn)P（a，0）的直線l與圓（x-1）2+（y-3）2=4相交于A、B兩點(diǎn)，存在PA=AB，求a的范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知當(dāng)x∈R時(shí)，不等式a+cos2x＜5-4sinx+
5a-4
恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知集合A={-1，1}，B={x|x2-2ax+b=0}，若B≠∅且B?A，求a，b的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，側(cè)棱垂直底面的三棱柱ABC-A1B1C1的底面ABC位于平行四邊形ACDE中，AE=2，AC=AA1=4，∠E=60°，點(diǎn)B為DE中點(diǎn)．
（1）求證：平面A1BC⊥平面A1ABB1．
（2）求A1C與平面A1ABB1所成的角的正弦值．

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同步練習(xí)冊答案