已知當(dāng)x∈R時(shí)，不等式a+cos2x＜5-4sinx+
5a-4
恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問(wèn)題
專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用
分析：在不等式中含有兩個(gè)變量a及x，其中x的范圍已知（x∈R），另一變量a的范圍即為所求，故可考慮將a及x分離．構(gòu)造函數(shù)f（x）=4sinx+cos2x，配方求其最大值，然后求解無(wú)理不等式得答案．
解答： 解：原不等式即：4sinx+cos2x＜
5a-4
-a+5．
要使上式恒成立，只需
5a-4
-a+5大于4sinx+cos2x的最大值，
故上述問(wèn)題轉(zhuǎn)化成求f（x）=4sinx+cos2x的最值問(wèn)題．
f（x）=4sinx+cos2x=-2sin2x+4sinx+1=-2（sinx-1）2+3≤3，
∴
5a-4
-a+5＞3，即
5a-4
＞a-2
∴
5a-4≥0
a-2＜0
或
5a-4≥0
a-2≥0
5a-4＞(a-2)2
．
解得：
4
5
≤a＜2或2≤a＜8．
綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是[
4
5
，8)．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)恒成立問(wèn)題，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，訓(xùn)練了無(wú)理不等式的解法，是中檔題．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)f（x）是R上的奇函數(shù)，且對(duì)任意的實(shí)數(shù)a，b當(dāng)a+b≠0時(shí)，都有
f(a)+f(b)
a+b
＞0
（1）若a＞b，試比較f（a），f（b）的大��；
（2）若存在實(shí)數(shù)x∈[
1
2
，
3
2
]使得不等式f（x-c）+f（x-c2）＞0成立，試求實(shí)數(shù)c的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=|x-2|+|x+3|的最小值為m．
（Ⅰ）求m；
（Ⅱ）當(dāng)a+2b+c=m時(shí)，求a2+2b2+3c2的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

探究函數(shù)f（x）=x2+
3
x
的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知向量
m
=（sinx，1），
n
=（
3
Acosx，
A
2
cos2x）（A＞0），函數(shù)f（x）=
m
•
n
的最大值為6．
（Ⅰ）求A；
（Ⅱ）將函數(shù)y=f（x）的圖象向左平移
π
12
個(gè)單位，再將所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的
1
2
倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，求g（x）在[0，
5π
24
]上的值域．
（Ⅲ）若函數(shù)y=f（x）滿足方程f（x）=k（3＜k＜6），求此方程在[0，
7π
6
]內(nèi)所有實(shí)數(shù)根之和．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

求z=3x-2y的最大值和最小值，式中的x、y滿足條件
4x-5y+21≥0
x-3y+7≤0
2x+y-7≤0
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（Ⅰ）已知凸四邊形ABCD，試比較AB•CD+BC•DA與AC•BD的大�。�
（Ⅱ）△ABC三邊a，b，c上的中線分別為ma，mb，mc，求證：abmc+bcma+camb≥a2ma+b2mb+c2mc．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

某研究性學(xué)習(xí)小組對(duì)3月至7月連續(xù)100天晝夜溫差大小與某種子發(fā)芽多少之間的關(guān)系進(jìn)行研究，每天浸泡100顆種子的發(fā)芽情況統(tǒng)計(jì)如下表（1）：
          表1
分組（單位：個(gè)）頻數(shù)頻率
[10，15）50.050
[15，20）200.200
[20，25）①0.350
[25，30）30②
[30，35）100.100
合計(jì)1001.00
（Ⅰ）頻率分布表中的①，②位置應(yīng)填什么數(shù)據(jù)？并補(bǔ)全頻率分布直方圖，作出頻率分布折線圖；根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)100天里種子發(fā)芽的平均值；（8分）
（Ⅱ）下面是3月1日至5日每天晝夜溫差與實(shí)驗(yàn)室每天每100顆種子浸泡后的發(fā)芽數(shù)的詳細(xì)記錄：
      表2
日期3月1日3月2日3月3日3月4日3月2日
溫差（℃）101113128
發(fā)芽數(shù)（顆）2325302616
（i）請(qǐng)根據(jù)3月2日至3月4日的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程；
（ii）若由線性回歸方程得到的估計(jì)數(shù)據(jù)與所選出的檢驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差均不超過(guò)2顆，則認(rèn)為得到的線性回歸方程是可靠的，試問(wèn)（i）中所得的線性回歸方程是否可靠？（6分）
（參考公式：
?
b
=
n
i=1
xiyi-n
.
x
.
y
n
i=1
x
2
i
-n
.
x
2
，
a
=
.
y
-
b
.
x
）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
1
2
x2-x+2alnx
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）0＜a＜
1
8
時(shí)，判斷方程：f（x）=（a+1）x根的個(gè)數(shù)并說(shuō)明理由；
（3）f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2且x1＜x2，證明：f（x2）＞
-3-2ln2
8
．

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