Question

17．（1）求證：a²+b²+3≥ab+$\sqrt{3}$（a+b）；
（2）已知a，b，c均為實數(shù)，且a=x²+2y+$\frac{π}{2}$，b=y²+2z+$\frac{π}{3}$，c=z²+2x+$\frac{π}{6}$，求證：a，b，c中至少有一個大于0．

Answer 1

分析 （1）運用重要不等式可得a²+b²≥2ab，a²+3≥2$\sqrt{3}$a，b²+3≥2$\sqrt{3}$b，累加即可得證；
（2）運用反證法證明，假設(shè)a，c，b都不大于0，可得a+b+c≤0，再由配方和平方非負，可得矛盾，即可得證．

解答 證明：（1）由a²+b²≥2ab，a²+3≥2$\sqrt{3}$a，b²+3≥2$\sqrt{3}$b；
將此三式相加得，
2（a²+b²+3）≥2ab+2$\sqrt{3}$a+2$\sqrt{3}$b，
即有a²+b²+3≥ab+$\sqrt{3}$（a+b）；
（2）（反證法）
假設(shè)a，c，b都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0，則a+b+c≤0，
由a=x²+2y+$\frac{π}{2}$，b=y²+2z+$\frac{π}{3}$，c=z²+2x+$\frac{π}{6}$，
可得a+b+c=（x²+2y+$\frac{π}{2}$）+（y²+2z+$\frac{π}{3}$）+（z²+2x+$\frac{π}{6}$）
=（x²+2x+1）+（y²+2y+1）+（z²+2z+1）+π-3
=（x+1）²+（y+1）²+（z+1）²+π-3＞0，
即a+b+c＞0與a+b+c≤0矛盾，
故假設(shè)錯誤，原命題成立．

點評 本題考查不等式的證明，注意運用重要不等式和反證法，考查推理能力，屬于中檔題．