Question

2．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程是$ρcos（θ-\frac{π}{4}）=2\sqrt{2}$，圓C的極坐標(biāo)方程是ρ=4sinθ．
（Ⅰ）求l與C交點(diǎn)的極坐標(biāo)；
（Ⅱ）設(shè)P為C的圓心，Q為l與C交點(diǎn)連線的中點(diǎn)，已知直線PQ的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}x=\root{3}{t}+a\\ y=\frac{2}\root{3}{t}+1\end{array}\right.$（t為參數(shù)），求a，b的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）列出關(guān)于θ符方程，通過(guò)三角函數(shù)求解θ，即可求l與C交點(diǎn)的極坐標(biāo)；
（Ⅱ）直線PQ的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}x=\root{3}{t}+a\\ y=\frac{2}\root{3}{t}+1\end{array}\right.$消去參數(shù)t，得到普通方程，利用第一問(wèn)的結(jié)果，即可求a，b的值．

解答 解：（Ⅰ）ρ=4sinθ代入$ρcos（θ-\frac{π}{4}）=2\sqrt{2}$，得sinθcosθ=cos²θ．所以cosθ=0或tanθ=1，取$θ=\frac{π}{2}$，$θ=\frac{π}{4}$．再由ρ=4sinθ得ρ=4，或$ρ=2\sqrt{2}$．所以l與C交點(diǎn)的極坐標(biāo)是$（4，\frac{π}{2}）$，或$（2\sqrt{2}，\frac{π}{4}）$．    …（5分）
（Ⅱ）參數(shù)方程化為普通方程得$y=\frac{2}（x-a）+1$．由（Ⅰ）得P，Q的直角坐標(biāo)分別是（0，2），（1，3），代入解得a=-1，b=2．    …（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查參數(shù)方程與極坐標(biāo)方程的互化，考查計(jì)算能力．