【題目】已知橢圓:的右焦點為,右頂點為,設(shè)離心率為,且滿足,其中為坐標原點.
(1)求橢圓的方程;
(2)過點(0,1)的直線與橢圓交于,兩點,求面積的最大值.
【答案】(1) ;(2) .
【解析】
(1)設(shè)橢圓的焦半距為c,結(jié)合題意分析可得,結(jié)合橢圓的幾何性質(zhì)可得a、b的值,代入橢圓的方程即可得答案;
(2)由題意分析可得直線l與x軸不垂直,設(shè)其方程為y=kx+1,聯(lián)立l與橢圓C的方程,可得(4k2+3)x2+8kx﹣8=0,結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系可以用k表示|MN|與O到l的距離,由三角形面積公式計算可得△OMN的面積 .,由基本不等式分析可得答案.
(1)設(shè)橢圓的焦半距為,則,,.
所以,其中,又,聯(lián)立解得,.
所以橢圓的方程是.
(2)由題意直線不能與軸垂直,否則將無法構(gòu)成三角形.
當直線與軸不垂直時,設(shè)其斜率為,那么的方程為.
聯(lián)立與橢圓的方程,消去,得.
于是直線與橢圓有兩個交點的充要條件是,這顯然成立.
設(shè)點,.
由根與系數(shù)的關(guān)系得,.
所以 ,又到的距離.
所以的面 .
令,那么 ,當且僅當時取等號.
所以面積的最大值是.
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【題目】在△ABC中,a,b,c分別為內(nèi)角A,B,C的對邊,且asin B=-bsin.
(1)求A;
(2)若△ABC的面積S=c2,求sin C的值.
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【題目】稱直角坐標系中縱橫坐標均為整數(shù)的 點為“格點”,稱一格點沿坐標線到原點的最短路程為該點到原點的“格點距離”,格點距離為定值的點的軌跡稱為“格點圓”,該定值稱為格點圓的半徑,而每一條最短路程稱為一條半徑.當格點半徑為2005時,格點圓的半徑有________條.
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【題目】某網(wǎng)紅直播平臺為確定下一季度的廣告投入計劃,收集了近6個月廣告投入量(單位:萬元)和收益(單位:萬元)的數(shù)據(jù)如下表:
月份 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
廣告投入量/萬元 | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 |
收益/萬元 | 14.21 | 20.31 | 31.8 | 31.18 | 37.83 | 44.67 |
用兩種模型①,②分別進行擬合,得到相應(yīng)的回歸方程并進行殘差分析,得到如圖所示的殘差圖及一些統(tǒng)計量的值:
7 | 30 | 1464.24 | 364 |
(1)根據(jù)殘差圖,比較模型①,②的擬合效果,應(yīng)選擇哪個模型?并說明理由.
(2)殘差絕對值大于2的數(shù)據(jù)被認為是異常數(shù)據(jù),需要剔除:
(i)剔除的異常數(shù)據(jù)是哪一組?
(ii)剔除異常數(shù)據(jù)后,求出(1)中所選模型的回歸方程;
(iii)廣告投入量時,(ii)中所得模型收益的預報值是多少?
附:對于一組數(shù)據(jù),其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為:,.
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【題目】如圖,三棱柱中,,D為AB上一點,且平面.
(1)求證:;
(2)若四邊形是矩形,且平面平面ABC,直線與平面ABC所成角的正切值等于2,,,求三樓柱的體積.
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【題目】如圖設(shè)計一幅矩形宣傳畫,要求畫面面積為4840,畫面上下邊要留8cm空白,左右要留5cm空白,怎樣確定畫面高與寬的尺寸,才能使宣傳畫所用紙張面積最小?
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【題目】建造一條防洪堤,其斷面為等腰梯形,腰與底邊成角為,防洪堤高記為(如圖),考慮到防洪堤堅固性及石塊用料等因素,設(shè)計其斷面面積為平方米,為了使堤的上面與兩側(cè)面的水泥用料最省,則斷面的外周長()要最。
(1)用表示、;
(2)將表示成的函數(shù),如限制在范圍內(nèi),最小為多少米?并說明理由.
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【題目】在如圖所示的空間幾何體中,平面平面,與是邊長為2的等邊三角形,,BE和平面ABC所成的角為,且點E在平面ABC上的射影落在的平分線上.
(1)求證:平面ABC;
(2)求二面角的余弦值.
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