Question

橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)F與拋物線y²=4x的焦點(diǎn)重合，且截拋物線的準(zhǔn)線所得弦長(zhǎng)為，傾斜角為45°的直線l過(guò)點(diǎn)F．
（1）求該橢圓的方程；
（2）設(shè)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)為，問(wèn)拋物線y²=4x上是否存在一點(diǎn)M，使得M與關(guān)于直線l對(duì)稱，若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）拋物線y²=4x的焦點(diǎn)為F（1，0），準(zhǔn)線方程為x=﹣1，
∴a²﹣b²=1  ①
又橢圓截拋物線的準(zhǔn)線x=﹣1所得弦長(zhǎng)為，
∴得上交點(diǎn)為，
∴  ②
由①代入②得2b⁴﹣b²﹣1=0，
解得b²=1或（舍去），
從而a²=b²+1=2
∴該橢圓的方程為    
（2）∵傾斜角為45°的直線l過(guò)點(diǎn)F，
∴直線l的方程為y=x﹣1，
由（1）知橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)為（﹣1，0），
設(shè)M（，）與關(guān)于直線l對(duì)稱，
則得 
 解得，
即M（1，﹣2）
又M（1，﹣2）滿足y²=4x，
故點(diǎn)M在拋物線上．  
所以拋物線y²=4x上存在一點(diǎn)M（1，﹣2），使得M與關(guān)于直線l對(duì)稱