Question

橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)F與拋物線y²=4x的焦點(diǎn)重合，且截拋物線的準(zhǔn)線所得弦長為，傾斜角為45°的直線l過點(diǎn)F．
（Ⅰ）求該橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)為F₁，問拋物線y²=4x上是否存在一點(diǎn)M，使得M與F₁關(guān)于直線l對(duì)稱，若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）確定拋物線y²=4x的焦點(diǎn)與準(zhǔn)線方程為x=-1，利用橢圓焦點(diǎn)F與拋物線y²=4x的焦點(diǎn)重合，且截拋物線的準(zhǔn)線所得弦長為，建立方程，即可求得橢圓的方程；
（Ⅱ）根據(jù)傾斜角為45°的直線l過點(diǎn)F，可得直線l的方程，由（Ⅰ）知橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)為F₁（-1，0），利用M（x，y）與F₁關(guān)于直線l對(duì)稱，可得M的坐標(biāo)，由此可得結(jié)論．
解答：解：（Ⅰ）拋物線y²=4x的焦點(diǎn)為F（1，0），準(zhǔn)線方程為x=-1，（2分）
∴a²-b²=1  ①（3分）
又橢圓截拋物線的準(zhǔn)線x=-1所得弦長為，∴得上交點(diǎn)為，
∴  ②（4分）
由①代入②得2b⁴-b²-1=0，解得b²=1或（舍去），
從而a²=b²+1=2
∴該橢圓的方程為     （6分）
（Ⅱ）∵傾斜角為45°的直線l過點(diǎn)F，
∴直線l的方程為y=x-1，（7分）
由（Ⅰ）知橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)為F₁（-1，0），設(shè)M（x，y）與F₁關(guān)于直線l對(duì)稱，（8分）
則得 （10分）  
解得，即M（1，-2）
又M（1，-2）滿足y²=4x，故點(diǎn)M在拋物線上．   （11分）
所以拋物線y²=4x上存在一點(diǎn)M（1，-2），使得M與F₁關(guān)于直線l對(duì)稱．（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查點(diǎn)關(guān)于線的對(duì)稱問題，解題的關(guān)鍵是利用拋物線及弦長建立方程，屬于中檔題．