Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，對任意的正整數(shù)n，都有a_n=5S_n+1成立，記．
（I）求數(shù)列{a_n}與數(shù)列{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{b_n}的前n項和為R_n，是否存在正整數(shù)k，使得R_n≥4k成立？若存在，找出一個正整數(shù)k；若不存在，請說明理由；
（Ⅲ）記c_n=b_2n-b_2n-1（n∈N^*），設(shè)數(shù)列{c_n}的前n項和為T_n，求證：對任意正整數(shù)n都有．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)題中給的a_n=5S_n+1，繼而可得a_n-1=5s_n-1+1，兩式子相減得，a_n-a_n-1=5a_n，因此，因而可得出a_n，b_n的通項公式．
（2）根據(jù)b_n的通項公式，算出的前n項和為R_n，再計算出是否存在正整數(shù)k．
（3）根據(jù)b_n的通項公式，計算出c_n的通項公式，再比較T_n與的大�。�
解答：解：（ I）當(dāng)n=1時，a₁=5S₁+1，∴
又∵a_n=5S_n+1，a_n+1=5S_n+1+1∴
∴數(shù)列{a_n}是首項為，公比為的等比數(shù)列，
∴，
（ II）不存在正整數(shù)k，使得R_n≥4k成立．
證明：由（I）知
∵．
∴當(dāng)n為偶數(shù)時，設(shè)n=2m（m∈N^*）
∴R_n=（b₁+b₂）+（b₃+b₄）+…+（b_2m-1+b_2m）＜8m=4n
當(dāng)n為奇數(shù)時，設(shè)n=2m-1（m∈N^*）
∴R_n=（b₁+b₂）+（b₃+b₄）+…+（b_2m-3+b_2m-2）+b_2m-1＜8（m-1）+4=8m-4=4n
∴對于一切的正整數(shù)n，都有R_n＜4k
∴不存在正整數(shù)k，使得R_n≥4k成立．
（III）由得
又，∴，當(dāng)n=1時，，
當(dāng)n≥2時，

．
點評：此題主要考查數(shù)列遞推式的求解及相關(guān)計算．