Question

在某中學(xué)舉辦的校園文化周活動(dòng)中，從周一到周五的五天中，每天安排一項(xiàng)內(nèi)容不同的活動(dòng)供學(xué)生選擇參加，要求每位學(xué)生必須參加三項(xiàng)活動(dòng)．其中甲同學(xué)必須參加周一的活動(dòng)，不參加周五的活動(dòng)，其余的三天的活動(dòng)隨機(jī)選擇兩項(xiàng)參加．乙同學(xué)和丙同學(xué)可以在周一到周五中隨機(jī)選擇三項(xiàng)參加．
（1）求甲同學(xué)選周三的活動(dòng)且乙同學(xué)未選周三的活動(dòng)的概率；
（2）設(shè)X表示甲，乙，丙三名同學(xué)選擇周三的活動(dòng)的人數(shù)之和，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,相互獨(dú)立事件的概率乘法公式

專題：計(jì)算題,概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）利用相互獨(dú)立事件概率公式，可求甲同學(xué)選周三的活動(dòng)且乙同學(xué)未選周三的活動(dòng)的概率；
（2）由于題意可以知道隨機(jī)變量ξ的可能值為0，1，2，3，利用相應(yīng)的事件的概率公式即可求得隨機(jī)變量每一個(gè)值下的概率，并列出其分布列，再由期望定義求解．

解答： 解：（1）設(shè)A表示事件“甲同學(xué)選周三的活動(dòng)”，B表示事件“乙同學(xué)選周三的活動(dòng)”，
則P（A）=

C 1 2

C 2 3

=

2

3

，P（B）=

C 2 4

C 3 5

=

3

5

，
∵事件A，B相互獨(dú)立，
∴甲同學(xué)選周三的活動(dòng)且乙同學(xué)未選周三的活動(dòng)的概率為P（A

.

B

）=P（A）P（

.

B

）=

2

3

•(1-

3

5

)=

4

15

；
（2）設(shè)C表示事件“丙同學(xué)選周三的活動(dòng)”，則P（C）=

C 2 4

C 3 5

=

3

5

，
X的可能取值為0，1，2，3，則
P（X=0）=

1

3

•

2

5

•

2

5

=

4

75

；P（X=1）=

2

3

•

2

5

•

2

5

+

1

3

•

3

5

•

2

5

+

1

3

•

2

5

•

3

5

=

4

15

；
P（X=2）=

2

3

•

3

5

•

2

5

+

2

3

•

2

5

•

3

5

+

1

3

•

3

5

•

3

5

=

11

25

；P（X=3）=

2

3

•

3

5

•

3

5

=

6

25

．
X的分布列

X	0	1	2	3
P	4 75	4 15	11 25	6 25

數(shù)學(xué)期望EX=0×

4

75

+1×

4

15

+2×

11

25

+3×

6

25

=

28

15

．

點(diǎn)評(píng)：此題屬于中檔題型，考查了隨機(jī)變量的定義及其分布列，還考查了隨機(jī)變量的期望公式及計(jì)算能力．