Question

8．已知A、B、C是直線l上的不同的三點，點O是直線l外一點，向量$\overrightarrow{OA}$、$\overrightarrow{OB}$、$\overrightarrow{OC}$滿足$\overrightarrow{OA}$-[2sin（2x-$\frac{π}{6}$）]$\overrightarrow{OB}$-（$\frac{3}{2}$-y）$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，記y=f（x）．
（1）求函數(shù)y=f（x）的解析式及它的周期；
（2）若對任意x∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]，不等式f（x）-2^m＞0恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意可得 $\overrightarrow{OA}$=[2sin（2x-$\frac{π}{6}$）]$\overrightarrow{OB}$+（y-$\frac{3}{2}$）$\overrightarrow{OC}$，再根據(jù)A、B、C是直線l上的不同的三點，可得2sin（2x-$\frac{π}{6}$）+y-$\frac{3}{2}$=1，即y=f（x）的解析式，從而求得f（x）的周期．
（2）根據(jù)x∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]，利用正弦函數(shù)的定義域和值域求得f（x）的最小值為$\frac{1}{2}$，可得$\frac{1}{2}$-2^m＞0，再解指數(shù)不等式，求得m的范圍．

解答 解：（1）由$\overrightarrow{OA}$-[2sin（2x-$\frac{π}{6}$）]$\overrightarrow{OB}$-（$\frac{3}{2}$-y）$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，可得 $\overrightarrow{OA}$=[2sin（2x-$\frac{π}{6}$）]$\overrightarrow{OB}$+（y-$\frac{3}{2}$）$\overrightarrow{OC}$，
再根據(jù)A、B、C是直線l上的不同的三點，可得2sin（2x-$\frac{π}{6}$）+y-$\frac{3}{2}$=1，
即 y=f（x）=$\frac{5}{2}$-2sin（2x-$\frac{π}{6}$），故f（x）的周期為$\frac{2π}{2}$=π．
（2）對任意x∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]，2x-$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]，∴sin（2x-$\frac{π}{6}$）∈[$\frac{1}{2}$，1]，
∴f（x）=$\frac{5}{2}$-2sin（2x-$\frac{π}{6}$）∈[$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$]．
再根據(jù)不等式f（x）-2^m＞0恒成立，可得$\frac{1}{2}$-2^m＞0，∴m＜-1．

點評 本題主要考查三點共線的性質(zhì)，正弦函數(shù)的周期性，正弦函數(shù)的定義域和值域，指數(shù)不等式的解法，屬于中檔題．