Question

11．設(shè)函數(shù)f（x）=x³-ax²-3x
（1）若x=3是f（x）的極值點，求a的值；
（2）在（1）的條件下，求f（x）在區(qū)間[1，a]上的最值．

Answer 1

分析 （1）對函數(shù)f（x）=x³-ax²-3x進(jìn)行求導(dǎo)，再根據(jù)f′（3）=0，求得a=4．
（2）根據(jù)導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)極值，和端點值，求出最值即可．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=x³-ax²-3x
f′（x）=3x²-2ax-3．x=3是f（x）的極值點，
∴27-6a-3=0，解得a=4．
（2）在（1）的條件下，f（x）=x³-4x²-3x，
∴f′（x）=3x²-8x-3．
令 f′（x）=0，解得 x=3∈[1，4]，x=-$\frac{1}{3}$（舍去），
易知f（x）在區(qū)間[1，3]上單調(diào)遞減，在[3，4]上單調(diào)遞增，
而f（1）=-6，f（4）=-12，f（3）=-18，
故f（x）在區(qū)間[1，4]上的最大值為-6，最小值為-18．

點評 本題考查函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的關(guān)系，函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，通過函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)極值，考查轉(zhuǎn)化思想與計算能力．