Question

1．已知集合A={x|（x+m）（x-2m-1）＜0}，其中m∈R，集合B={x|$\frac{1-x}{x+2}$＞0}．
（1）當(dāng)m=$\frac{1}{2}$時(shí)，求A∪B；
（2）若B⊆A，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先分別求出集合B和A，由此利用并集定義能求出A∪B．
（2）當(dāng)A=∅時(shí)，m=-$\frac{1}{3}$，不符合題意，當(dāng)A≠∅時(shí)，m$≠-\frac{1}{3}$，根據(jù)-m＜2m+1和-m＞2m+1進(jìn)行分類討論經(jīng)，能求出實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答 解：（1）集合B={x|$\frac{1-x}{x+2}$＞0}={x|-2＜x＜1}，
當(dāng)m=$\frac{1}{2}$時(shí)，（x+m）（x-2m-1）＜0可化為（x+$\frac{1}{2}$）（x-2）＜0，
解得-$\frac{1}{2}＜x＜2$，
∴A={x|-$\frac{1}{2}＜x＜2$}，
∴A∪B={x|-2＜x＜2}．
（2）當(dāng)A=∅時(shí)，m=-$\frac{1}{3}$，不符合題意，
當(dāng)A≠∅時(shí)，m$≠-\frac{1}{3}$，
①當(dāng)-m＜2m+1，即m＞-$\frac{1}{3}$時(shí)，A={x|-m＜x＜2m+1}，
∵B⊆A，∴$\left\{\begin{array}{l}{m＞-\frac{1}{3}}\\{-m≤-2}\\{2m+1≥1}\end{array}\right.$，∴m≥2．
②當(dāng)-m＞2m+1，即m＜-$\frac{1}{3}$時(shí)，A={x|2m+1＜x＜-m}，
∵B⊆A，∴$\left\{\begin{array}{l}{m＜-\frac{1}{3}}\\{2m+1≤-2}\\{-m≥1}\\{\;}\end{array}\right.$，解得m≤-$\frac{3}{2}$．
綜上所述：實(shí)數(shù)m的取值范圍是（-∞，-$\frac{3}{2}$]∪[2，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查并集的求法，考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，考查不等式、并集、子集等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題．