Question

已知函數(shù)f（x）=x³-ax²+bx+c（a＞0）在點x=0處取得極值，并且在區(qū)間（0，2）上單調(diào)遞減，在區(qū)間（4，5）上單調(diào)遞增．
（1）求實數(shù)b的值；
（2）求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求導數(shù)f′（x），因為f（x）在點x=0處取得極值，所以有f′（0）=0，可解得b值，注意檢驗；
（2）利用導數(shù)求出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間，由題意得，（0，2）為減區(qū)間的子集，（4，5）為增區(qū)間的子集，由此可得不等式，解出即可．

解答：解：（1）f′（x）=3x²-2ax+b，
因為f（x）在點x=0處取得極值，
所以f′（0）=0，解得b=0；
經(jīng)檢驗可知：b=0符合題意．
（2）令f′（x）=0，即3x²-2ax=0，解得x=0或x=

2

3

a，
∵a＞0，∴x變化時，f'（x）、f（x）的變化情況如下表：

x	（-∞，0）	0	(0， 2 3 a)	2 3 a	( 2 3 a，+∞)
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	遞增	極大值	遞減	極小值	遞增

因為函數(shù)在區(qū)間（0，2）上單調(diào)遞減，在區(qū)間（4，5）上單調(diào)遞增，
所以應有2≤

2

3

a≤4，
解得3≤a≤6．
故a的取值范圍是3≤a≤6．

點評：本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的極值及單調(diào)性，準確求導，深刻理解它們間的關系是解決問題的基礎．f′（x₀）=0是可導函數(shù)f（x）在x₀處取得極值的必要不充分條件；若函數(shù)f（x）在（a，b）上單調(diào)，則（a，b）為相應單調(diào)區(qū)間的子集．