Question

12．已知函數(shù)f（x）=${log}_{\frac{1}{2}}$（$\frac{1}{2}$sin2x）．
（1）求f（x）的定義域、值域和單調(diào)區(qū)間
（2）判斷f（x）的奇偶性．

Answer 1

分析 （1）由真數(shù)大于0求得x的取值范圍可得函數(shù)定義域；由0＜$\frac{1}{2}$sin2x$≤\frac{1}{2}$結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)值域；再由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）由函數(shù)的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱可得函數(shù)f（x）為非奇非偶函數(shù)．

解答 解：（1）由$\frac{1}{2}$sin2x＞0，得2kπ＜2x＜π+2kπ，即$kπ＜x＜\frac{π}{2}+kπ$，k∈Z，
∴函數(shù)的定義域?yàn)椋?kπ，kπ+\frac{π}{2}$），k∈Z；
由題意，0＜$\frac{1}{2}$sin2x$≤\frac{1}{2}$，∴${log}_{\frac{1}{2}}$（$\frac{1}{2}$sin2x）∈[1，+∞），
即函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇1，+∞）；
由2kπ＜2x$≤\frac{π}{2}+2kπ$，得$kπ＜x≤\frac{π}{4}+kπ$，
∴函數(shù)f（x）的減區(qū)間為（kπ，$\frac{π}{4}+kπ$]，k∈Z；
由$\frac{π}{2}+2kπ＜2x＜π+2kπ$，得$\frac{π}{4}+kπ＜x＜kπ$，k∈Z，
∴函數(shù)f（x）的增區(qū)間為（$\frac{π}{4}+kπ，kπ$），k∈Z；
（2）∵函數(shù)的定義域?yàn)椋?kπ，kπ+\frac{π}{2}$），k∈Z，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
∴函數(shù)f（x）為非奇非偶函數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，考查了函數(shù)的定義域與值域的求法，訓(xùn)練了函數(shù)奇偶性的判定方法，是中檔題．