Question

如圖，PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形，PA=AB=1，PD與平面ABCD所成角是30°，點(diǎn)F中PB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊BC上移動(dòng)．
（1）證明：PE⊥AF；
（2）當(dāng)點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)時(shí)，求多面體PADEF的體積．

Answer 1

分析：（1）由題意可得此題是證明線面垂直的問題，即證明直線AF垂直于平面PBE，而當(dāng)點(diǎn)E在BC上無(wú)論怎樣運(yùn)動(dòng)時(shí)直線PE都在此平面內(nèi)，因此只需證明已知直線垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線即可．
（2）多面體PADEF的體積V=V_P-ADE+V_E-PAF，分別求出兩個(gè)棱錐的底面積和高，代入棱錐體積公式，可求出答案．

解答：證明：（1）∵PA⊥平面ABCD，BE?平面ABCD，
∴EB⊥PA，
又∵EB⊥AB，AB∩AP=A，AB，AP?平面PAB，
∴EB⊥平面PAB，
又∵AF?平面PAB，
∴AF⊥BE，
又∵PA=AB=1，點(diǎn)F是PB的中點(diǎn)，
∴AF⊥平面PBE．
∵PE?平面PBE，
∴AF⊥PE．
（2）∵PD與平面ABCD所成角是30°，
∴AD=

3

又∵ABCD是矩形，PA=AB=1，ABCD是矩形，PA=AB=1，
∵棱錐P-ADE的高PA=1，底面ADE面積S₁=

1

2

×1×

3

=

3

2

∴V_P-ADE=

1

3

•

3

2

•1=

3

6

棱錐E-PAF的高

1

2

BC=

3

2

，底面PAF的面積S₂=

1

2

×

1

2

=

1

4

∴V_E-PAF=

1

3

•

3

2

•

1

4

=

3

24

∴多面體PADEF的體積V=V_P-ADE+V_E-PAF=

3

6

+

3

24

=

5 3

24

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是空間線面垂直與線線垂直之間的轉(zhuǎn)化，組合幾何體的體積，其中（1）的關(guān)鍵是熟練掌握空間線線垂直與線面垂直的之間的相互轉(zhuǎn)化，（2）的關(guān)鍵是將組合體時(shí)行分解．