Question

1．已知△ABC中，|$\overrightarrow{BC}$|=1，$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$=2，點P為線段BC的動點，動點Q滿足$\overrightarrow{PQ}$=$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$，則$\overrightarrow{PQ}$•$\overrightarrow{PB}$的最小值等于-$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 建立平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)|$\overrightarrow{BC}$|=1，$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$=2得出B，C坐標(biāo)，設(shè)P（a，0），A（0，b），使用坐標(biāo)求出$\overrightarrow{PQ}，\overrightarrow{PB}$的表達(dá)式，根據(jù)a的范圍求出最小值．

解答 解：以BC所在直線為x軸，以BC邊的高為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖．
∵$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}=BA•cosB=2$，∴B（-2，0），C（-1，0），
設(shè)P（a，0），A（0，b），則-2≤a≤-1．
∴$\overrightarrow{PA}$=（-a，b），$\overrightarrow{PB}$=（-2-a，0），$\overrightarrow{PC}$=（-1-a，0）．
∴$\overrightarrow{PQ}$=（-3-3a，b），
∴$\overrightarrow{PQ}•\overrightarrow{PB}$=（-2-a）（-3-3a）=3a²+9a+6=3（a+$\frac{3}{2}$）²-$\frac{3}{4}$．
∴當(dāng)a=-$\frac{3}{2}$時，$\overrightarrow{PQ}•\overrightarrow{PB}$取得最小值-$\frac{3}{4}$．
故答案為：$-\frac{3}{4}$．

點評 本題考查了平面向量的數(shù)量積運算，建立坐標(biāo)系是解題關(guān)鍵．