Question

2．?dāng)?shù)列{a_n}滿足a₁=1，且當(dāng)n∈N₊時(shí)a_n³+（1+a_n²）（1-a_n+1）=0．
（Ⅰ）比較a_n+1與a_n的大��；
（Ⅱ）設(shè)b_n=$\frac{{a}_{n+1}-1}{{a}_{n}}$（$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}$-$\frac{1}{{{a}_{n+1}}^{2}}$），數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，求證：[T_n]=0．
（[x]表示不大于實(shí)數(shù)x的最大整數(shù)）

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意可得a_n+1=$\frac{{a}_{n}^{3}+{a}_{n}^{2}+1}{{a}_{n}^{2}+1}$，作差比較即可判斷．
（Ⅱ）由題意可得b_n＜$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n+1}}$，且0＜$\frac{1}{{a}_{n}}$≤1，累加求和得到，T_n＜1-$\frac{1}{{a}_{n}}$，再根據(jù)[x]表示不大于實(shí)數(shù)x的最大整數(shù)，即可證明．

解答 解：（Ⅰ）∵a_n³+（1+a_n²）（1-a_n+1）=0，
∴a_n+1=$\frac{{a}_{n}^{3}+{a}_{n}^{2}+1}{{a}_{n}^{2}+1}$，
∴a_n+1-a_n=$\frac{{a}_{n}^{2}-{a}_{n}+1}{{a}_{n}^{2}+1}$=$\frac{（{a}_{n}-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{3}{4}}{{a}_{n}^{2}+1}$＞0，
∴a_n+1＞a_n；
（Ⅱ）∵a₁=1＞0，a_n+1＞a_n，
∴?n∈N^*，a_n≥1，
∴0＜$\frac{1}{{a}_{n}}$≤1
∵b_n=$\frac{{a}_{n+1}-1}{{a}_{n}}$（$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}$-$\frac{1}{{{a}_{n+1}}^{2}}$）=$\frac{{a}_{n}^{2}}{{a}_{n}^{2}+1}$•（$\frac{1}{{a}_{n}}$+$\frac{1}{{a}_{n+1}}$）•（$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n+1}}$）＜$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n+1}}$，
∴T_n＜（$\frac{1}{{a}_{1}}$-$\frac{1}{{a}_{2}}$）+（$\frac{1}{{a}_{2}}$-$\frac{1}{{a}_{3}}$）+…+（$\frac{1}{{a}_{n-1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$）=1-$\frac{1}{{a}_{n}}$，
∴0＜T_n＜1，
∴[T_n]=0．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列與不等式的綜合應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．對數(shù)學(xué)思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強(qiáng)，難度大，是高考的重點(diǎn)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．