Question

如圖，已知定點(diǎn)F（-1，0），N（1，0），以線(xiàn)段FN為對(duì)角線(xiàn)作周長(zhǎng)是8的平行四邊形MNEF．
（Ⅰ）求點(diǎn)E、M所在曲線(xiàn)C的方程；
（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)N的直線(xiàn)l：x=my+1與曲線(xiàn)C交于P，Q兩點(diǎn)，則△FPQ的內(nèi)切圓的面積是否存在最大值？若存在，求出這個(gè)最大值及直線(xiàn)l的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的綜合問(wèn)題,軌跡方程

專(zhuān)題：圓錐曲線(xiàn)中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（Ⅰ）由已知得|EF|+|EN|=4》2=|FN|，曲線(xiàn)C的軌跡為橢圓（去掉左右頂點(diǎn)），由此能求出點(diǎn)E、M所在曲線(xiàn)C的方程．
（2）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），設(shè)y₁＞0，y₂＜0，△FPQ的內(nèi)切圓半徑為R，則S△FPQ=

1

2

(|PQ|+|PF|+|QF|）R=

1

2

×4a×R=4R，當(dāng)S_△EFQ最大時(shí)，R也最大，△FPQ的內(nèi)切圓的面積也最大，S_△FPQ=

1

2

•|FN|•|y1-y2|=|y1-y2|，由

x=my+1 x2 4 + y2 3 =1

，得（3m²+4）y²+6my-9=0，由此利用弦長(zhǎng)公式、導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出△FPQ的內(nèi)切圓的最大值和直線(xiàn)l的方程．

解答： 解：（Ⅰ）∵四邊形MNEF是周長(zhǎng)為8的平行四邊形，
∴|EF|+|EN|=4》2=|FN|，
由橢圓定義知，曲線(xiàn)C的軌跡為橢圓（去掉左右頂點(diǎn)），
且2a=4，2c=2，∴b²=a²-c²=3，
∴點(diǎn)E、M所在曲線(xiàn)C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1，y≠0．
（2）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），不妨設(shè)y₁＞0，y₂＜0，
設(shè)△FPQ的內(nèi)切圓半徑為R，
則S△FPQ=

1

2

(|PQ|+|PF|+|QF|）R=

1

2

×4a×R=4R，
當(dāng)S_△EFQ最大時(shí)，R也最大，△FPQ的內(nèi)切圓的面積也最大，
又S_△FPQ=

1

2

•|FN|•|y1-y2|=|y1-y2|，
由

x=my+1 x2 4 + y2 3 =1

，得（3m²+4）y²+6my-9=0，
△=（6m）²+4×9（3m²+4）＞0恒成立，
y1+y2=

-6m

3m2+4

，y1y2=

-9

3m2+4

，
|y₁-y₂|=

(y1+y2)2-4y1y2

=

( -6m 3m2+4 )2-4× -9 3m2+4

=

12 m2+1

3m2+4

，
∴S_△FPQ=

12 m2+1

3m2+4

，
設(shè)

m2+1

=t，則f′(t)=

12-36t2

(3t2+1)2

，
∵t≥1，∴f′（t）＜0，
∴函數(shù)f（t）在[1，+∞）上是單調(diào)減函數(shù)，
∴f（t）_max=f（1）=3，
即S_△FPQ的最大值是3，
又S_△FPQ=4R，∴R=

3

4

，m=0，
∴△FPQ的內(nèi)切圓的最大值為

9π

16

，直線(xiàn)l的方程為x=1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查曲線(xiàn)方程的求法，考查三角形內(nèi)切圓面積的最大值的求法，考查直線(xiàn)方程的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意弦長(zhǎng)公式、導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．