Question

已知函數(shù)f（x）=（x+1）e^kx，（k為常數(shù)，k≠0）．
（Ⅰ）當(dāng)k=1時(shí)，求函數(shù)f（x）的極值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）上是單調(diào)增函數(shù)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（I）當(dāng)k=1時(shí)，函數(shù)f（x）=（x+1）e^x，f′（x）=（x+2）e^x，再研究其單調(diào)性即可得出．
（II）f′（x）=（kx+k+1）e^kx．對(duì)k分類討論：當(dāng)k=0時(shí)，當(dāng)k＞0時(shí)，當(dāng)k＜0時(shí)，分別解出f′（x）＞0，f′（x）＜0，即可得出單調(diào)區(qū)間．
（III）由（II）可得：f′（x）=（kx+k+1）e^kx．函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）上是單調(diào)增函數(shù)?f′（x）≥0在區(qū)間（0，1）上恒成立，但是f′（x）不恒等于0．g（x）=kx+k+1≥0在區(qū)間（0，1）上恒成立，但是不恒等于0．利用一次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答： 解：（I）當(dāng)k=1時(shí)，函數(shù)f（x）=（x+1）e^x，f′（x）=（x+2）e^x，
令f′（x）=0，解得x=-2．
令f′（x）＞0，解得x＞-2，∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（-2，+∞）上單調(diào)遞增；
令f′（x）＜0，解得x＜-2，∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，-2）上單調(diào)遞減．
∴當(dāng)x=-2時(shí)，函數(shù)f（x）取得極小值，f（-2）=-

1

e2

．
（II）f′（x）=（kx+k+1）e^kx．
①當(dāng)k=0時(shí)，f′（x）=1＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；
②當(dāng)k＞0時(shí)，令f′（x）=k(x+

k+1

k

)e^kx=0，解得x=-

k+1

k

．當(dāng)x＞-

k+1

k

時(shí)，
f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；當(dāng)x＜-

k+1

k

時(shí)，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減．
③當(dāng)k＜0時(shí)，令f′（x）=k(x+

k+1

k

)e^kx=0，解得x=-

k+1

k

．當(dāng)x＜-

k+1

k

時(shí)，
f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；當(dāng)x＞-

k+1

k

時(shí)，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減．
綜上可得：①當(dāng)k=0時(shí)，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；
②當(dāng)k＞0時(shí)，當(dāng)x＞-

k+1

k

時(shí)，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；當(dāng)x＜-

k+1

k

時(shí)，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；
③當(dāng)k＜0時(shí)，當(dāng)x＜-

k+1

k

時(shí)，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；當(dāng)x＞-

k+1

k

時(shí)，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減．
（III）由（II）可得：f′（x）=（kx+k+1）e^kx．
函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）上是單調(diào)增函數(shù)?f′（x）≥0在區(qū)間（0，1）上恒成立，但是f′（x）不恒等于0．
∴g（x）=kx+k+1≥0在區(qū)間（0，1）上恒成立，但是不恒等于0．
∴g（x）=

g(0)≥0 g(1)≥0

，即

k+1≥0 2k+1≥0

，解得k≥-

1

2

．
滿足f′（x）≥0在區(qū)間（0，1）上恒成立，但是f′（x）不恒等于0．
因此實(shí)數(shù)k的取值范圍是[-

1

2

，+∞)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值，考查了恒成立問(wèn)題的等價(jià)轉(zhuǎn)化方法，考查了分類討論的思想方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．