Question

已知函數(shù)f（x）=lnx+x²+mx．
（Ⅰ）當(dāng)m=-3時(shí)，求函數(shù)f（x）的極值；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）確定函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），求導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，從而可求函數(shù)的極小值；
（Ⅱ）求導(dǎo)函數(shù)，函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)為增函數(shù)，轉(zhuǎn)化為2x²-mx+1≥0在（0，+∞）上恒成立，分離參數(shù)，利用基本不等式求最值，即可求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），f′(x)=

1

x

+2x+m，
m=-3時(shí)，f′(x)=

2x2-3x+1

x

=

(2x-1)(x-1)

x

=0，得x=

1

2

或x=1．
f'（x），f（x）隨x的變化情況如下表：

x	(0， 1 2 )	1 2	( 1 2 ，1)	1	（1，+∞）
f'（x）	+		-		+
f（x）	增		減		增

f(x)極大值=f(

1

2

)=-ln2-

5

4

，f（x）_極小值=f（1）=-2．
（Ⅱ）函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)為增函數(shù)，
∴x＞0時(shí)，f，（x）=

1

x

+2x+m≥0恒成立，
∴m≥-（

1

x

+2x）（其中x＞0）恒成立；
∵x＞0，∴

1

x

+2x≥2

2

（當(dāng)且僅當(dāng)x=

2

2

時(shí)取等號），
∴-（

1

x

+2x）_max=-2

2

，
∴m≥-2

2

．

點(diǎn)評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值，函數(shù)與不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．