如圖,在海岸線一側(cè)C處有一個(gè)美麗的小島,某旅游公司為方便游客,在上設(shè)立了A、B兩個(gè)報(bào)名點(diǎn),滿足A、B、C中任意兩點(diǎn)間的距離為10千米。公司擬按以下思路運(yùn)作:先將A、B兩處游客分別乘車(chē)集中到AB之間的中轉(zhuǎn)點(diǎn)D處(點(diǎn)D異于A、B兩點(diǎn)),然后乘同一艘游輪前往C島。據(jù)統(tǒng)計(jì),每批游客A處需發(fā)車(chē)2輛,B處需發(fā)車(chē)4輛,每輛汽車(chē)每千米耗費(fèi)2元,游輪每千米耗費(fèi)12元。設(shè)∠,每批游客從各自報(bào)名點(diǎn)到C島所需運(yùn)輸成本S元。
⑴寫(xiě)出S關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式,并指出的取值范圍;
⑵問(wèn)中轉(zhuǎn)點(diǎn)D距離A處多遠(yuǎn)時(shí),S最。
(1);(2)千米.
【解析】
試題分析:(1)首先發(fā)現(xiàn)運(yùn)輸成本與路程有關(guān),根據(jù)題意總運(yùn)輸成本為,下面就是想辦法把用表示出來(lái),由于,因此在中,利用正弦定理就可以用表示出,而,因此表達(dá)式易求.(2)由(1)求出了為的函數(shù),問(wèn)題變?yōu)?img src="http://thumb2018.1010pic.com//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014032305021757814095/SYS201403230502429843173392_DA.files/image006.png">為何值時(shí),函數(shù)取得最小值,可以用導(dǎo)數(shù)的知識(shí)加以解決,即求出,令,使的值一定函數(shù)的最值點(diǎn),只是我們要考慮下是最大還是最小值而已,這個(gè)應(yīng)該是很好解決的.
試題解析:(1)由題在中,,
由正弦定理得,得
, 3分
∴
7分
(2),令,得, 10分
當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,∴當(dāng)時(shí),取得最小值. 12分
此時(shí),,
∴中轉(zhuǎn)站距處千米時(shí),運(yùn)輸成本最小. 14分
考點(diǎn):(1)正弦定理;(2)函數(shù)的最小值.
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