Question

3．如圖所示，已知二次函數y=-x²+4x+c的圖象經過坐標原點，并且與函數y=x的圖象交于O，A兩點．求：
（1）該二次函數的解析式；
（2）點A的坐標；
（3）若一條平行于y軸的直線與線段OA交于點F，與這個二次函數的圖象交于點E，求線段EF的最大長度．

Answer 1

分析 （1）二次函數y=-x²+4x+c的圖象經過坐標原點，把（0，0）代入解析式就可以求出c的值．
（2）解拋物線的解析式與函數y=x的解析式組成的方程組就可以求出A點的坐標．
（3）直線OA的解析式可以利用待定系數法求出函數的解析式，設E點的橫坐標是x，把x代入拋物線的解析式，以及直線OA的解析式，就可以求出兩個函數交點的縱坐標，縱坐標的差就是EF的長，EF的長可以表示成x的函數．可以轉化為函數的最值問題．

解答 解：（1）（0，0）代入y=-x²+4x+c，
解得：c=0，
∴y=-x²+4x；
（2）根據題意得到$\left\{\begin{array}{l}{y={-x}^{2}+4x}\\{y=x}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=3}\end{array}\right.$，
則A（3，3）；
 （3）設此直線為x=a，
則E（a，-a²+4a），F（a，a），
∴EF=-a²+4a-a=-a²+3a=-（a-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{9}{4}$，
∴當a=$\frac{3}{2}$時，EF最大長度為$\frac{9}{4}$．

點評 本題主要考查了待定系數法求函數的解析式，以及函數交點的求法，最值問題一般是轉化為函數的最值問題．