Question

11．已知A，B，C是拋物線y²=4x上不同的三點(diǎn)，且AB∥y軸，∠ACB=90°，點(diǎn)C在AB邊上的射影為D，則|AD|•|BD|=（　�。�

• A． 16
• B． 8
• C． 4
• D． 2

Answer 1

分析 設(shè)出A，B，C三點(diǎn)坐標(biāo)，求出$\overrightarrow{CA}，\overrightarrow{CB}$，根據(jù)∠ACB=90°列方程得出三點(diǎn)橫坐標(biāo)的關(guān)系得出|CD|，利用相似三角形得出|AD|•|BD|=|CD|²．

解答 解：設(shè)A（4t²，4t），B（4t²，-4t），C（4m²，4m），
∴$\overrightarrow{CA}$=（4t²-4m²，4t-4m），$\overrightarrow{CB}$=（4t²-4m²，-4t-4m）．
∵∠ACB=90°，∴$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}=0$．
∴16（t²-m²）²-16（t²-m²）=0，∴m²-t²=-1或m²-t²=0（舍）．
∴|CD|=4|t²-m²|=4，
在Rt△ABC中，∵CD⊥AB，
∴△ACD∽△CBD，
∴$\frac{AD}{CD}=\frac{CD}{BD}$，
∴|AD|•|BD|=|CD|²=16．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線的性質(zhì)，直線與拋物線的關(guān)系，屬于中檔題．