Question

【題目】已知函數(shù).

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）函數(shù)在上的最大值.

①求；

②若過(guò)點(diǎn)可作出曲線(xiàn)的三條切線(xiàn)，求的范圍.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）①；②或且．

【解析】

（1）求，令便得到，或，所以討論和2的關(guān)系，即判斷和0的關(guān)系：分，，三種情況，判斷每種情況下的的符號(hào)，從而判斷的單調(diào)性；

（2）①對(duì)應(yīng)（1）中的三種情況：，，，判斷在每種情況下在，上的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性求函數(shù)在，上的最大值；

②要作的三條切線(xiàn)，則圖象應(yīng)是曲線(xiàn)，所以，，求，設(shè)切點(diǎn)為，將切點(diǎn)代入切線(xiàn)方程，則這個(gè)關(guān)于的方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，再利用導(dǎo)數(shù)研究三次方程根的情況，即可求得的取值范圍．

（1），令得，，或；

若，即，

，或時(shí)，；時(shí)，；

在，上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減；

若，即，，

函數(shù)在上單調(diào)遞增；

若，，，或時(shí)，；時(shí)，；

在，上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；

（2）①由（1）知：

當(dāng)時(shí)，在，單調(diào)遞減，在，單調(diào)遞增；

對(duì)于此時(shí)的的最大值比較，即可；

∵，

時(shí)，，∴；

∵時(shí)，，∴；

當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞增，∴；

當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞增，∴；

∴；

②根據(jù)題意，，，

所以設(shè)過(guò)點(diǎn)所作切線(xiàn)的切點(diǎn)為，，斜率為；

切線(xiàn)方程為，

∵點(diǎn)在切線(xiàn)上，所以，

將上式整理成：，

則關(guān)于的方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，且；

令，

則應(yīng)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，，令，則，或，，中一個(gè)是極大值，一個(gè)是極小值；

時(shí)，是極小值，是極大值，；

解得；

令，，令，得，，或4；

在，上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增；

可求得，，時(shí)，，，且時(shí)，；

的解是，；

時(shí)，是極大值，是極小值，；

解得，；

∴的解是，且，，且；

綜上得的取值范圍是或且．