Question

3．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-4，x≤0}\\{\frac{lnx}{x}，x＞0}\end{array}\right.$，若函數(shù)y=f（f（x）-2a）有兩個零點，則實數(shù)a的取值范圍是a≥$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{e}$+3）或a$＜-\frac{5}{2}$．

Answer 1

分析 畫出函數(shù)圖象，令f（f（x）-2a）=0⇒f（x）-2a=-2或f（x）-2a=1，⇒f（x）=2a-2或f（x）=2a+1，由函數(shù)函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-4，x≤0}\\{\frac{lnx}{x}，x＞0}\end{array}\right.$的值域為R，可得f（x）=2a-2和f（x）=2a+1都至少有一個零點，要使函數(shù)y=f（f（x）-2a）有兩個零點，必滿足f（x）=2a-2和f（x）=2a+1各有一個零點．

解答 解：函數(shù)y=$\frac{lnx}{x}$的定義域是（0，+∞），令y′＞0，
解得：0＜x＜e，令y′＜0，解得：x＞e，
故函數(shù)y=$\frac{lnx}{x}$在（0，e）遞增，在（e，+∞）遞減，
故x=e時，函數(shù)y=$\frac{lnx}{x}$取得最大值，最大值是$\frac{1}{e}$，函數(shù)y=x²-4（ x≤0）是拋物線的一部分．
∴函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-4，x≤0}\\{\frac{lnx}{x}，x＞0}\end{array}\right.$的圖象如下：
令y=f（f（x）-2a）=0⇒f（x）-2a=-2或f（x）-2a=1，⇒f（x）=2a-2或f（x）=2a+1，
∵函數(shù)函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-4，x≤0}\\{\frac{lnx}{x}，x＞0}\end{array}\right.$的值域為R，
∴f（x）=2a-2和f（x）=2a+1都至少有一個零點，函數(shù)y=f（f（x）-2a）有兩個零點，
則必滿足f（x）=2a-2和f（x）=2a+1各有一個零點．
∵2a+1＞2a-2，
①當(dāng)2a-2＜-4且2a+1＞$\frac{1}{e}$時，⇒a∈∅，
②當(dāng)2a+1＞2a-3≥$\frac{1}{e}$時，⇒a≥$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{e}$+3）
③當(dāng)2a+1＜-4時，⇒a＜-$\frac{5}{2}$
故答案為：a≥$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{e}$+3）或a$＜-\frac{5}{2}$

點評 本題考查了利用數(shù)形結(jié)合的思想求解函數(shù)的零點問題，同時也考查了函數(shù)的單調(diào)性及分類討論思想，屬于難題．