Question

14．某四棱錐的三視圖如圖所示，該四棱錐的四個側面的面積中最大的是（　�。�

• A． 3
• B． $2\sqrt{5}$
• C． 6
• D． $3\sqrt{5}$

Answer 1

分析 由三視圖得幾何體是四棱錐并畫出直觀圖，由三視圖判斷出線面的位置關系，并求出幾何體的高和側面的高，分別求出各個側面的面積，即可得到答案．

解答 解：由三視圖得幾何體是四棱錐P-ABCD，如圖所示：
且PE⊥平面ABCD，底面ABCD是矩形，AB=4、AD=2，
面PDC是等腰三角形，PD=PC=3，
則△PDC的高為$\sqrt{{3}^{2}-{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
所以△PDC的面積為：$\frac{1}{2}$×4×$\sqrt{5}$=2$\sqrt{5}$，
因為PE⊥平面ABCD，所以PE⊥BC，
又CB⊥CD，PE∩CD=E，所以BC⊥面PDC，
即BC⊥PC，同理可證AD⊥PD，
則兩個側面△PAD、△PBC的面積都為：$\frac{1}{2}$×2×3=3，
側面△PAB的面積為：$\frac{1}{2}$×4×$\sqrt{（\sqrt{5}）^{2}+{2}^{2}}$=6，
所以四棱錐P-ABCD的四個側面中面積最大是：6，
故選C．

點評 本題考查由三視圖求幾何體側面的面積，由三視圖正確復原幾何體、判斷出幾何體的結構特征是解題的關鍵，考查空間想象能力．