Question

若定義在D上的函數(shù)y=f（x）滿足條件：存在實數(shù)a，b（a＜b）且[a，b]?D，使得：
①任取x₀∈[a，b]，有f（x₀）=C（C是常數(shù)）；
②對于D內(nèi)任意y₀，當y₀∉[a，b]，總有f（y₀）＜C．
我們將滿足上述兩條件的函數(shù)f（x）稱為“平頂型”函數(shù)，稱C為“平頂高度”，稱b-a為“平頂寬度”．根據(jù)上述定義，解決下列問題：
（1）函數(shù)f（x）=-|x+2|-|x-3|是否為“平頂型”函數(shù)？若是，求出“平頂高度”和“平頂寬度”；若不是，簡要說明理由．
（2）已知是“平頂型”函數(shù)，求出m，n的值．
（3）對于（2）中的函數(shù)f（x），若f（x）=kx在x∈[-2，+∞）上有兩個不相等的根，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

解：（1），------2′
則存在區(qū)間[-2，3]使x∈[-2，3]時f（x）=-5
且當x＜-2和x＞3時，f（x）＜-5恒成立． 2′
所以函數(shù)f（x）是“平頂型”函數(shù)，平頂高度為-5，平頂寬度為5．---2′
（2）存在區(qū)間[a，b]?[-2，+∞），使得恒成立----1′
則x²+2x+n=（mx-c）²恒成立，則或----3′
當m=n=1時，不是“平頂型”函數(shù)．
當m=-1，n=1時，是“平頂型”函數(shù)∴m=-1，n=1
（3）x≥-1時，-2x-1=kx，則，得k＜-2或k≥-1------2′
-2≤x＜-1時，1=kx，則，得--2′所以．1′
分析：（1）討論x的范圍去掉絕對值，然后根據(jù)“平頂型”函數(shù)定義進行判定即可，再求出“平頂高度”和“平頂寬度”；
（2）存在區(qū)間[a，b]?[-2，+∞），使得恒成立，則x²+2x+n=（mx+c）²恒成立，從而求出m，n的值．
（3）討論x，用k表示出x，從而可求出k的取值范圍．
點評：本題主要考查了新定義的函數(shù)，以及恒成立問題，同時考查了分類討論的數(shù)學思想和計算能力，屬于中檔題．