如圖所示，已知過(guò)點(diǎn)A(0，1)且方向向量為a＝(1，k)的直線(xiàn)l與⊙C＝(x－2)2＋(y－3)2＝1相交于M、N兩點(diǎn)．




(1)




求實(shí)數(shù)k的取值范圍






(2)




求證：·＝定值






(3)




若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且·＝12，求k的值．






			



			


		

		
		
	

		

			

				

				答案：
解析：
(1)


　　解析：直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)(0，1)，且方向向量a=(1，k)，∴直線(xiàn)l的方程為y=kx＋1．將其代入⊙C方程，得(1＋k2)x2－4(1＋k)x＋7=0()．


　　由△=[－4(1＋k)]2－4·(1＋k2)·7＞0，得＜k＜．


(2)


由平面幾何知識(shí)，若過(guò)A的圓C的一條切線(xiàn)為AT(T為切點(diǎn))，則·=｜｜·｜｜·=｜AM｜·｜AN｜=｜AT｜2=7，即為定值．


(3)


　　設(shè)M(x1，y1)、N(x2，y2)，則由()得　


　　∴·=x1x2＋y1y2


　　　　　　　 =x1x2＋(kx1＋1)(kx2＋1)
 

　　　　　　　 =(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1
 

　　　　　　　 =(1＋k2)·＋k·＋1
 

　　　　　　　 =＋8．
 

　　∴=4，得k=1，由(1)知k=1符合題意，∴k=1．


　　點(diǎn)評(píng)：本題根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示將題目中的·轉(zhuǎn)化成含點(diǎn)M、N坐標(biāo)的數(shù)學(xué)式子，并利用、同向共線(xiàn)，其夾角為，將·轉(zhuǎn)化為｜AM｜·｜AN｜，實(shí)現(xiàn)了向量條件向解析幾何條件的轉(zhuǎn)化．



				

							

			

			

			
			

		

	


		


		





			

		

		
				

				練習(xí)冊(cè)系列答案
		

		
				
			

					

				相關(guān)習(xí)題
			

						
		

			

				科目：高中數(shù)學(xué)
				來(lái)源：
				題型：
			


						
如圖所示，已知以點(diǎn)A（-1，2）為圓心的圓與直線(xiàn)l1：x+2y+7=0相切．過(guò)點(diǎn)B（-2，0）的動(dòng)直線(xiàn)l與圓A相交于M，N兩點(diǎn)，Q是MN的中點(diǎn)，直線(xiàn)l與l1相交于點(diǎn)P．
（1）求圓A的方程；
（2）當(dāng)|MN|=2
19
時(shí)，求直線(xiàn)l的方程．


			


			

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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來(lái)源：2009-2010學(xué)年北京市昌平區(qū)高三（上）期末數(shù)學(xué)試卷（文科）（解析版）
				題型：解答題
			


						
如圖所示，已知以點(diǎn)A（-1，2）為圓心的圓與直線(xiàn)l1：x+2y+7=0相切．過(guò)點(diǎn)B（-2，0）的動(dòng)直線(xiàn)l與圓A相交于M，N兩點(diǎn)，Q是MN的中點(diǎn)，直線(xiàn)l與l1相交于點(diǎn)P．
（1）求圓A的方程；
（2）當(dāng)時(shí)，求直線(xiàn)l的方程．



			


			

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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來(lái)源：2012-2013學(xué)年福建省廈門(mén)市灌口中學(xué)高三（上）周考數(shù)學(xué)試卷（文科）（解析版）
				題型：解答題
			


						
如圖所示，已知以點(diǎn)A（-1，2）為圓心的圓與直線(xiàn)l1：x+2y+7=0相切．過(guò)點(diǎn)B（-2，0）的動(dòng)直線(xiàn)l與圓A相交于M，N兩點(diǎn)，Q是MN的中點(diǎn)，直線(xiàn)l與l1相交于點(diǎn)P．
（1）求圓A的方程；
（2）當(dāng)時(shí)，求直線(xiàn)l的方程．



			


			

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