Question

13．已知函數(shù)f（x）=x（e^x-e^-x）-（2x+1）（e^2x+1-e^-2x-1），則滿足f（x）＞0的實數(shù)x的取值范圍為-1＜x＜-$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 構造函數(shù)g（x）=x（e^x-e^-x），問題轉化為g（x）＞g（2x+1），由函數(shù)的性質可得|x|＞|2x+1|，平方化為一元二次不等式可得．

解答 解：構造函數(shù)g（x）=x（e^x-e^-x），
則g（x）=x（e^x-e^-x）為偶函數(shù)，且當x＞0時，g（x）單調(diào)遞增，
則由f（x）＞0可得x（e^x-e^-x）＞（2x+1）（e^2x+1-e^-2x-1），
即g（x）＞g（2x+1），
∴不等式等價為g（|x|）＞g（|2x+1|），
即|x|＞|2x+1|，即x²＞（2x+1）²，
∴3x²+4x+1＜0，解得-1＜x＜-$\frac{1}{3}$
故答案為：-1＜x＜-$\frac{1}{3}$．

點評 本題考查指對不等式的解法，涉及函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，屬基礎題．