設(shè)an=n+，求證：數(shù)列{an}中任意不同的三項都不可能成為等比數(shù)列．
【答案】分析：假設(shè)數(shù)列{an}中存在三項ap，aq，ar（p，q，r互不相等）成等比數(shù)列，則根據(jù)等比中項的性質(zhì)可知aq2=apar．把ap，aq，ar代入求得（q2-pr）+（2q-p-r）=0進而推斷出，求得p=r，與p≠r矛盾．進而可知假設(shè)不成立．
解答：證明：假設(shè)數(shù)列{an}中存在三項ap，aq，ar（p，q，r互不相等）成等比數(shù)列，則aq2=apar．
即（q+）2=（p+）（r+）．
∴（q2-pr）+（2q-p-r）=0
∵p，q，r∈N*，
∴，
∴（）2=pr，（p-r）2=0，
∴p=r．
與p≠r矛盾．
所以數(shù)列{an}中任意不同的三項都不可能成等比數(shù)列．
點評：本小題考查數(shù)列的基本知識，考查等差數(shù)列的概念、通項公式與前n項和公式，考查等比數(shù)列的概念與性質(zhì)，考查化歸的數(shù)學(xué)思想方法以及推理和運算能力．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)an=n+
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(n∈N*)，求證：數(shù)列{an}中任意不同的三項都不可能成為等比數(shù)列．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）滿足f（x+y）=f（x）•f（y），且f（1）=
1
2
．
（1）當n∈N*時，求f（n）的表達式；
（2）設(shè)an=n•f（n），n∈N*，求證a1+a2+a3+…+an＜2；
（3）設(shè)bn=（9-n）
f(n+1)
f(n)
，n∈N*，Sn為bn的前n項和，當Sn最大時，求n的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2008•和平區(qū)三模）定義一種運算*，滿足n*k=nλk-1（n，k∈N*，λ為非零實常數(shù)）
（1）對任意給定的k，設(shè)an=n*k（n=1，2…），求證數(shù)列{an}是等差數(shù)列，并求k=2時，該數(shù)列的前10項和；
（2）對任意給定的n，設(shè)bk=n*k（k=1，2…），求證數(shù)列{bk}是等比數(shù)列，并求出此時該數(shù)列前10項的和；
（3）設(shè)Cn=n*n，試求數(shù)列{Cn}的前n項和Sn，并求當λ∈（0，1）時，
limn→∞
Sn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2011•延慶縣一模）對于數(shù)列{an}，如果存在一個數(shù)列{bn}，使得對于任意的n∈N*，都有an≥bn，則把{bn}叫做{an}的“基數(shù)列”．
（Ⅰ）設(shè)an=-n2，求證：數(shù)列{an}沒有等差基數(shù)列；
（Ⅱ）設(shè)an=n3-n2-2tn+t2，bn=n3-2n2-n+
5
4
，（n∈N*），且{bn}是{an}的基數(shù)列，求t的取值范圍；
（Ⅲ）設(shè)an=1-e-n，bn=
n
n+1
，（n∈N*），求證{bn}是{an}的基數(shù)列．

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