Question

已知函數(shù)y=f（x）定義域為（-π，π），且函數(shù)y=f（x+1）的圖象關(guān)于直線x=-1對稱，當(dāng)x∈（0，π）時，f（x）=-f′（

π

2

）sinx-πl(wèi)nx，（其中f′（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù)），若a=f（3^0.3），b=f（log_π3），c=f（-log₃9），則a，b，c的大小關(guān)系是（　　）

• A、a＞b＞c
• B、b＞a＞c
• C、c＞b＞a
• D、c＞a＞b

Answer 1

分析：函數(shù)y=f（x+1）的圖象關(guān)于直線x=-1對稱，可得函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于y軸得出，即函數(shù)f（x）是偶函數(shù)．
由于當(dāng)x∈（0，x）時，f（x）=-f′（

π

2

）sinx-πl(wèi)nx．利用導(dǎo)數(shù)的運算法則可得f′(x)=-f′(

π

2

)cosx-

π

x

，令x=

π

2

，得到f′(

π

2

)=-2．x∈（0，π）時可得f′(x)=2cosx-

π

x

，進而得到函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，π）上單調(diào)遞減．由于c=f（-log₃9）=f（-2）=f（2），再比較2，3^0.3，log_π3的大小即可得出．

解答：解：∵函數(shù)y=f（x+1）的圖象關(guān)于直線x=-1對稱，
∴函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于y軸得出，即函數(shù)f（x）是偶函數(shù)．
∵當(dāng)x∈（0，x）時，f（x）=-f′（

π

2

）sinx-πl(wèi)nx，
∴f′(x)=-f′(

π

2

)cosx-

π

x

，
令x=

π

2

，則f′(

π

2

)=-2．
∴f′(x)=2cosx-

π

x

＜0，
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，π）上單調(diào)遞減．
∵c=f（-log₃9）=f（-2）=f（2），
2＞3

1

2

＞3^0.3＞1＞log_π3＞0，
∴f（2）＜f（3^0.3）＜f（log_π3）．
又a=f（3^0.3），b=f（log_π3），
∴b＞a＞c．
故選：B．

點評：本題考查了函數(shù)的奇偶性、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，屬于難題．