Question

已知偶函數(shù)滿足：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.
(Ⅰ).求表達(dá)式；
(Ⅱ).若直線與函數(shù)的圖像恰有兩個公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(Ⅲ).試討論當(dāng)實(shí)數(shù)滿足什么條件時(shí)，直線的圖像恰有個公共點(diǎn)，且這個公共點(diǎn)均勻分布在直線上.（不要求過程）

Answer 1

(Ⅰ).;(Ⅱ).  (Ⅲ).當(dāng)時(shí)，或
當(dāng)時(shí)， 此時(shí); 當(dāng)時(shí)，，或
當(dāng)時(shí)此時(shí).

試題分析：（1）由為偶函數(shù)，則有，又因?yàn)楫?dāng)，及，，所以當(dāng)時(shí)，，即可求出 .當(dāng)時(shí)，同理可求出此時(shí)的.（2）畫出的大致圖像，由圖1易知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)與恰有兩個交點(diǎn)，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)與無交點(diǎn)，易得當(dāng)時(shí)恒成立，當(dāng)時(shí)，則有，即可求出.
當(dāng)，時(shí)，函數(shù)的圖像如圖2所示，此時(shí)直線的圖像若恰有個公共點(diǎn)，且這個公共點(diǎn)均勻分布在直線上，則易知時(shí)符合題意，設(shè)時(shí)由左到右的兩個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，由函數(shù)的對稱性易知，，此時(shí).其他情況同理即可求出.

圖1                                 圖2
試題解析：（1）為偶函數(shù)，則有
當(dāng)時(shí)，，即
當(dāng)時(shí)，，即
故有
（2）如下圖，當(dāng)時(shí)，由圖像易知函數(shù)與恰有兩個交點(diǎn)
當(dāng)時(shí)，函數(shù)與無交點(diǎn)
由，
當(dāng)時(shí)，此時(shí)符合題意
當(dāng)時(shí)，由即
可得
由偶函數(shù)的對稱性可知時(shí)，
與時(shí)的情況相同
故綜上：

（3）當(dāng)時(shí)，或
當(dāng)時(shí)， 此時(shí)   
當(dāng)時(shí)，，或
當(dāng)時(shí)此時(shí)