【題目】已知,如圖,在直二面角中,四邊形是邊長為的正方形,,且.

（Ⅰ）求證:平面;

（Ⅱ）求二面角的余弦值;

（Ⅲ）在線段（不包含端點(diǎn)）上是否存在點(diǎn),使得與平面所成的角為;若存在,寫出的值,若不存在,說明理由.

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）.

【解析】試題分析：

（Ⅰ）由面面垂直的性質(zhì)定理可得,結(jié)合,可得平面.

（Ⅱ）以為原點(diǎn),以的方向分別為軸,軸的正方向,建立空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算可得平面的法向量,設(shè)平面的法向量,計(jì)算可得二面角的余弦值為.

（Ⅲ）設(shè)存在點(diǎn)滿足題意，設(shè),則,據(jù)此得到關(guān)于的方程，解方程可得.則在線段上存在點(diǎn)滿足題意.

試題解析：

（Ⅰ）證明:因?yàn)樵谥倍娼?/span>中,四邊形是正方形,

所以,則平面,

又因?yàn)?/span>平面,所以,

因?yàn)?/span>,即,

所以平面.

（Ⅱ）以為原點(diǎn),以的方向分別為軸,軸的正方向,建立空間直角坐標(biāo)系

則,,,.

平面的法向量,設(shè)平面的法向量,

因?yàn)?/span>,,

所以即

令,解得,則,

所以二面角的余弦值為.

（Ⅲ）設(shè)存在點(diǎn),使得與平面所成的角為,且,

則,,則有,

解得（舍）.

所以在線段上存在點(diǎn),使得與平面所成的角為,.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖,在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E、F、P、Q分別是BC、C1D1、AD1、BD的中點(diǎn)．

(1)求證：PQ∥平面DCC1D1；

(2)求證：AC⊥EF.

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【題目】實(shí)數(shù)a，b滿足ab＞0且a≠b，由a、b、、按一定順序構(gòu)成的數(shù)列（　�。�

A. 可能是等差數(shù)列，也可能是等比數(shù)列

B. 可能是等差數(shù)列，但不可能是等比數(shù)列

C. 不可能是等差數(shù)列，但可能是等比數(shù)列

D. 不可能是等差數(shù)列，也不可能是等比數(shù)列

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）=|2x﹣1|+|2x+a|，g（x）=x+3．
（1）當(dāng)a=﹣2時，求不等式f（x）＜g（x）的解集；
（2）設(shè)a＞﹣1，且當(dāng) 時，f（x）≤g（x），求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】下列說法中，正確的序號是_________.

① 的圖象與的圖象關(guān)于軸對稱；

② 若，則的值為1；

③ 若, 則 ；

④ 把函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后，所得圖象的一條對稱軸方程為；

⑤ 在鈍角中，，則；

⑥ .

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù).

（1）若方程在上有根，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）設(shè)，若對任意的，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）=sinxcosx+cos2x-．

（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；

（Ⅱ）將函數(shù)f（x）圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)g（x）的圖象．若關(guān)于x的方程g（x）-k=0，在區(qū)間[0，]上有實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】我校對高二600名學(xué)生進(jìn)行了一次知識測試,并從中抽取了部分學(xué)生的成績(滿分100分)作為樣本,繪制了下面尚未完成的頻率分布表和頻率分布直方圖.

分　組

頻　數(shù)

頻　率

[50,60)

2

0.04

[60,70)

8

0.16

[70,80)

10

　

[80,90)

　

　

[90,100]

14

0.28

合　計(jì)

　

1.00

(1)填寫頻率分布表中的空格,補(bǔ)全頻率分布直方圖,并標(biāo)出每個小矩形對應(yīng)的縱軸數(shù)據(jù);

(2)請你估算該年級學(xué)生成績的中位數(shù);

(3)如果用分層抽樣的方法從樣本分?jǐn)?shù)在[60,70)和[80,90)的人中共抽取6人,再從6人中選2人,求2人分?jǐn)?shù)都在[80,90)的概率.

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【題目】某旅游點(diǎn)有50輛自行車供游客租賃使用，管理這些自行車的費(fèi)用是每日115元．根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，若每輛自行車的日租金不超過6元，則自行車可以全部租出；若超過6元，則每提高1元，租不出去的自行車就增加3輛．

規(guī)定：每輛自行車的日租金不超過20元，每輛自行車的日租金x元只取整數(shù)，并要求出租所有自行車一日的總收入必須超過一日的管理費(fèi)用，用y表示出租所有自行車的日凈收入（即一日中出租所有自行車的總收入減去管理費(fèi)后的所得）．

（1）求函數(shù)y=f（x）的解析式及定義域；

（2）試問日凈收入最多時每輛自行車的日租金應(yīng)定為多少元？日凈收入最多為多少元？

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