Question

已知函數(shù)f（x）=axsinx+cosx，且f（x）在x=

π

4

處的切線斜率為

2 π

8

．
（1）求a的值，并討論f（x）在[-π，π]上的單調(diào)性；
（2）設(shè)函數(shù)g（x）=ln（mx+1）+

1-x

1+x

，x≥0，其中m＞0，若對任意的x₁∈[0，+∞）總存在x₂∈[0，

π

2

]，使得g（x₁）≥f（x₂）成立，求m的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：綜合題,導數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求a的值，并討論f（x）在[-π，π]上的單調(diào)性；
（2）設(shè)函數(shù)g（x）=ln（mx+1）+

1-x

1+x

，x≥0，其中m＞0，若對任意的x₁∈[0，+∞）總存在x₂∈[0，

π

2

]，使得g（x₁）≥f（x₂）成立，則g（x₁）_min≥f（x₂）_min成立，即g（x₁）_min≥1即可．

解答： 解：（1）函數(shù)的導數(shù)為f′（x）=asinx+axcosx-sinx，
在f（x）在x=

π

4

處的切線斜率k=f′（

π

4

）=asin

π

4

+a×

π

4

cos

π

4

-sin

π

4

=

2 a

2

+

2 aπ

8

-

2

2

=

2 π

8

．
即

2 π

8

（1-a）=-

2

2

（1-a），則1-a=0，解得a=1．
即f（x）=xsinx+cosx，
則f′（x）=sinx+xcosx-sinx=xcosx，
由f′（x）＞0得xcosx＞0，即

0＜x＜π cosx＞0

或

-π＜x＜0 cosx＜0

，即0＜x＜

π

2

或者-π＜x＜-

π

2

，此時函數(shù)單調(diào)遞增，
由f′（x）＜0得xcosx＜0，即

0＜x＜π cosx＜0

或

-π＜x＜0 cosx＞0

，即

π

2

＜x＜π或者-

π

2

＜x＜0，此時函數(shù)單調(diào)遞減；
（2）當x₂∈[0，

π

2

]時，由（1）可知函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，則f（0）≤f（x₂）≤f（

π

2

），
即1≤f（x₂）≤

π

2

，
設(shè)函數(shù)g（x）=ln（mx+1）+

1-x

1+x

，x≥0，其中m＞0，若對任意的x₁∈[0，+∞）總存在x₂∈[0，

π

2

]，使得g（x₁）≥f（x₂）成立，
則g（x₁）_min≥f（x₂）_min成立，即g（x₁）_min≥1即可．
g′（x）=

m

mx+1

-

2

(1+x)2

＞0，則mx²＞2-m，
若m≥2時，g′（x）＞0恒成立，g（x）在[0，+∞）上遞增，∴f（x）的最小值為f（0）=1；
若0＜m＜2，則x＞

2-m m

，g′（x）＞0恒成立，g（x）在（

2-m m

，+∞）上遞增，在（-∞，

2-m m

）上遞減，
∴g（x）在x=

2-m m

處取得最小值f（

2-m m

）＜f（0）=1，
∴m≥2，g（x）最小值為1
∴m的取值范圍是m≥2．

點評：本題考查利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值、單調(diào)性，考查學生分析解決問題的能力，屬于難題．